Показатель

В школьной математике термин «показатель» чаще всего употребляют в связке «показатель степени» и понимают как число, которое показывает, в какую степень возводится основание. Степень обычно записывают как $a^{b}$, где a — основание, а b — показатель степени. Показатель определяет количество повторных умножений основания само на себя при целевых положительных целых значениях, но понятие расширяется и на нулевые, отрицательные и дробные показатели, что позволяет связать операцию возведения в степень с операциями деления и извлечения корня.

Показатели применяются повсеместно: в алгебре при преобразованиях выражений, в аналитической геометрии и физике при работе с показательной функцией, а также в научной записи чисел (плавающая точка). Основные правила работы с показателями формулируются как тождества, удобные для упрощения выражений: умножение степеней с одинаковым основанием, возведение степени в степень, нулевой и отрицательный показатели, а также связь дробных показателей с корнями. Некоторые важные записи и законы можно компактно выразить как $a^{m}a^{n}=a^{m+n}$, $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ и $a^{0}=1\quad(a\ne 0)$, а отрицательные и дробные показатели дают равенства $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ и $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$ соответственно.

Понимание показателя важно как для вычислений, так и для качественного анализа поведения функций: при росте показателя степенные функции меняют скорость возрастания или убывания, а показательная функция с переменным в показателе описывает экспоненциальный рост и убывание. В практических задачах встречается также научная (стандартная) форма записи числа через показатель десятки: $c\cdot 10^{k}$.