КонспектыМатематика

Деление обыкновенных дробей

Деление обыкновенных дробей

Понятие и смысл деления дробей

Деление дробей — это операция, которая отвечает на вопрос: «Сколько раз одна дробь помещается в другой?» Практический смысл деления может быть разным: разрезание отрезка, распределение порций, сравнение скоростей. Важно понимать связь между делением и умножением: чтобы разделить на дробь, удобно умножать на её обратную.

Обыкновенная дробь - число, записанное в виде отношения двух целых чисел, где числитель стоит над знаменателем.

Если представить деление в виде дробей, то операция приобретает более строгую форму и поддаётся общим приёмам упрощения. В этом разделе мы будем пользоваться общим правилом перехода от деления к умножению на обратную дробь, а также поясним, как работать со смешанными числами и целыми при делении.

Правило: деление — это умножение на обратную

Основное правило деления обыкновенных дробей звучит просто: чтобы поделить одну дробь на другую, умножьте первую дробь на обратную вторую. Это правило удобно не только в вычислениях, но и при доказательствах и преобразованиях с дробями. Символически это записывается так:

ab÷cd=ab⋅dc\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}

Дальше это умножение даёт результат в виде дроби, числитель и знаменатель которой получаются перемножением соответствующих частей исходных дробей. То есть можно также записать:

ab⋅dc=adbc\frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}

Обратная дробь и её свойства

Обратная дробь - для ненулевой дроби это другая дробь, при перемножении которой с исходной получается единица.

Если у нас есть ненулевая дробь, то переход к её обратной осуществляется перестановкой числителя и знаменателя. Это полезный приём, потому что операция деления сводится к привычному умножению. Формула для определения обратной дроби выглядит как:

обратная к ab — ba\text{обратная к } \frac{a}{b} \text{ — } \frac{b}{a}

Важно помнить: обратную дробь можно найти только для дроби с ненулевым числителем и знаменателем, и при умножении дроби на её обратную всегда получается единица (при условии, что дроби не содержат нуля в запрещённых местах).

Приведение смешанных чисел к неправильной дроби

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части.

Перед делением смешанные числа удобно привести к неправильным дробям (то есть к дробям, где числитель больше или равен знаменателю). Это делает последующие преобразования более стандартизированными: после приведения мы используем правило умножения на обратную. Преобразование записывается формулой:

mab=mb+abm\frac{a}{b} = \frac{m b + a}{b}

После приведения смешанного числа к неправильной дроби можно применять те же приёмы сокращения и умножения, что и для обычных дробей.

Упрощение и сокращение перед умножением

При умножении дробей удобнее сокращать множители до выполнения умножения числителя на числитель и знаменателя на знаменатель. Это уменьшает вычислительную нагрузку и помогает получить результат в несократимом виде. Идея: переставим деление на обратную и затем сократим общие множители между числителем одной дроби и знаменателем другой.

Пример применения сокращения показан ниже: сначала выполняется переход к умножению, затем производится сокращение общих множителей, и только потом — окончательный подсчёт результата.

89÷43=89⋅34\frac{8}{9} \div \frac{4}{3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4}

8⋅39⋅4=2436=23\frac{8\cdot 3}{9\cdot 4} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}

Особые случаи: ноль и отрицательные дроби

Если числитель одной из дробей равен нулю, то результат деления с этой дробью в числителе равен нулю при условии, что делитель не равен нулю. При этом важно помнить про запрет деления на ноль: деление на ноль не определено.

05÷23=0\frac{0}{5} \div \frac{2}{3} = 0

23÷0 не определено\frac{2}{3} \div 0 \text{ не определено}

Отрицательные дроби делятся по тем же правилам: знак результата определяется знаком множителей (правило знаков сохраняется), а сами операции сокращения и приведения к обратной остаются прежними.

−23÷45=−23⋅54-\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = -\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4}

−23⋅54=−1012=−56-\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{4} = -\frac{10}{12} = -\frac{5}{6}

Пошаговые практические примеры

Пример 1. Найти результат деления 34÷12=34⋅21\frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} Мы сначала заменяем деление умножением на обратную, а затем умножаем и сокращаем по необходимости. В данном случае получаем:

34⋅21=64=32\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}

Пример 2. Деление дроби на целое число. Чтобы разделить дробь на целое число, можно умножить дробь на обратную для этого целого, то есть на дробь с единицей в числителе. Например:

56÷2=56⋅12=512\frac{5}{6} \div 2 = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5}{12}

Пример 3. Деление со сложным сокращением. Рассмотрим:

89÷43=89⋅34\frac{8}{9} \div \frac{4}{3} = \frac{8}{9} \cdot \frac{3}{4}

8⋅39⋅4=2436=23\frac{8\cdot 3}{9\cdot 4} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}

Пример 4. Деление смешанного числа на дробь. Сначала переводим смешанное число в неправильную дробь, затем умножаем на обратную:

112=321\frac{1}{2} = \frac{3}{2}

32÷34=32⋅43=126=2\frac{3}{2} \div \frac{3}{4} = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{12}{6} = 2

Дополнительные советы и рекомендации

1) Всегда проверяйте, не равен ли делитель нулю — это частая ошибка при упрощённых вычислениях. 2) По возможности сокращайте множители до умножения: это сократит количество арифметики и поможет получить результат в простейшей форме. 3) Для практических задач полезно представлять деление в реальной контекстной интерпретации — распределение, масштабирование, сравнение частей целого.

Для закрепления навыка полезно решать разноуровневые задачи: от прямых вычислений с простыми дробями до задач, где участвуют смешанные числа и отрицательные значения. Помните, что последовательность действий всегда одна и та же: привести (при необходимости), заменить деление на умножение на обратную, сократить, умножить и привести результат к требуемому виду.

Ниже — несколько типичных случаев, запоминающихся по своей частоте появления в задачах:

ab÷cd=ab⋅(cd)−1\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \left(\frac{c}{d}\right)^{-1}

25÷45=25⋅54=24=12\frac{2}{5} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}