Аксиома измерения углов

Аксиома измерения углов вводит в геометрии правило, по которому каждому углу ставится в соответствие число — его мера. Формально это утверждение говорит о существовании функции меры \u2014 обозначим её через символ μ, которая каждому углу \u2014 например, углу с вершиной в точке O и образованному лучами OA и OB \u2014 ставит в соответствие вещественное число в оговорённом диапазоне: $\\mu(\\angle AOB)\\in[0,180]$. Важная часть аксиомы состоит в требовании согласованности с понятием равных (конгруэнтных) углов: если два угла равны по определению конгруэнтности, то их меры совпадают $\\text{Если }\\angle AOB\\cong\\angle A''OB''\\text{, то }\\mu(\\angle AOB)=\\mu(\\angle A''OB'')$. Кроме того, аксиома фиксирует меру стандартных углов, в частности прямого угла: $\\mu(\\text{прямой угол})=180$.

Практическая сила аксиомы измерения углов заключается в её свойстве аддитивности и однозначности измерения. Аддитивность формулируется так: если внутри угла \u2014 угла AOB \u2014 лежит луч OC, то большой угол разбивается на два прилегающих угла, и мера большого угла равна сумме мер частей $\\mu(\\angle AOB)=\\mu(\\angle AOC)+\\mu(\\angle COB)$. На основе комбинации требований конгруэнтности, аддитивности и нормировки (задание меры прямого угла) получается, что мера угла однозначно определяет его геометрический вид в пределах заданной ориентации плоскости: равенство мер эквивалентно равенству углов в смысле конгруэнтности $\\mu(\\angle AOB)=\\mu(\\angle A''OB'')\\iff\\angle AOB\\cong\\angle A''OB''$. Именно эти положения позволяют ввести привычную числовую шкалу для измерения углов и оперировать ими как числами при решении задач.

В школьной практике аксиома не доказывается, а принимается как основополагающее правило. Она даёт право пользоваться привычными свойствами: складывать и вычитать углы, сравнивать их по величине, использовать понятия половины или двойного угла. Например, если некоторый луч делит угол на два угла, меры которых равны 30° и 50°, то мера всего угла определяется сложением мер частей и равна {FORMULA_5}. Ниже приведено простое иллюстративное пояснение.