Степень с целым показателем

Определение и обозначения

Пусть дано число, которое называют основанием степени, и целое число, называемое показателем степени. Запись степени обычно выглядит как компактное обозначение повторного умножения основания на само себя и обозначается как $a^{n}$. При этом бывает полезно фиксировать, к каким множествам принадлежат переменные: например, основание обычно рассматривают как действительное число, а показатель — как целое число: $a\in\mathbb{R},\ n\in\mathbb{Z}$.

Степень - это выражение вида $a^{n}$, где одно число (основание) умножается само на себя столько раз, сколько указано показателем.

Основание степени - число, которое возводят в степень; в записи $a^{n}$ это первое число (обычно пишут снизу).

Показатель степени - целое число, которое показывает, сколько раз надо использовать основание в произведении; в записи $a^{n}$ это верхний индекс.

Примеры простых степеней и правила записи

Чтобы лучше представить смысл, рассмотрим несколько простых числовых примеров: $2^{3}=8$ и $(-3)^{2}=9$. Обратите внимание, как ведёт себя знак при возведении отрицательного числа в степень: при чётном показателе результат положителен, при нечётном — сохраняется знак основания: $(-3)^{2}=9$ и $(-3)^{3}=-27$.

Запись степеней экономит место и понятно отражает структуру многочленов, произведений и дробей. Переход от повторного умножения к компактной записи облегчает вывод общих правил и упрощение выражений.

Основные свойства степеней с целыми показателями

У степеней существует ряд простых и удобных свойств, которые позволяют быстро упрощать выражения. Одно из ключевых свойств — произведение степеней с одинаковым основанием: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$. Это следует из того, что при умножении складываются числа одинакового множителя.

При делении степеней с одинаковым основанием показатель степени вычитается: $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$. Это объясняется сокращением общего числа множителей в числителе и знаменателе.

Если степень возводится в степень, то показатели перемножаются: $(a^{m})^{n}=a^{mn}$. Также удобно пользоваться законом степени для произведения: возведение произведения в степень равно произведению степеней, то есть $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$, и для дроби: $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$.

Нулевой и отрицательные показатели

Особые случаи показателя требуют отдельного обсуждения. Во-первых, любое ненулевое основание, возведённое в нулевую степень, даёт единицу: $a^{0}=1,\quad a\neq 0$. Это следует из свойства деления степеней, если подставить равные показатели в числителе и знаменателе.

Отрицательный показатель - показатель, равный отрицательному целому числу. Он переводит степень в обратную дробь: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$.

Важно помнить о неоднозначном случае: выражение $0^{0}\ \text{не определено}$. Такой случай в математическом анализе обычно считают неопределённым, поэтому с ним работают осторожно и не приравнивают автоматически к единице или нулю.

Числовые примеры нулевого и отрицательного показателя: $5^{0}=1$ и $2^{-2}=\dfrac{1}{4}$. Эти сокращённые вычисления часто используют при преобразовании дробных и рациональных выражений.

Практические приёмы упрощения выражений

Часто требуется упростить выражение, используя перечисленные свойства. Например, при делении степеней с одинаковым основанием можно сразу записать результат через разность показателей: $\dfrac{a^{5}}{a^{2}}=a^{3}$.

При работе с произведением в степени удобно распределять показатель на множители: $(ab)^{3}=a^{3}b^{3}$. Такой приём позволяет раскладывать сложные выражения на более простые множители и дальше сокращать общие степени при делении.

Бывают и более сложные приёмы, где комбинируются несколько правил одновременно. Рассмотрим конкретный расчёт: $\dfrac{(2a^{3}b)^{2}}{a^{4}}=4a^{2}b^{2}$. В этом примере применяется свойство степени для произведения, затем сокращение одинаковых оснований и упрощение коэффициента.

Сложные примеры и распространённые ошибки

При преобразованиях с целыми показателями важно следить за порядком действий и за расположением скобок. Неправильное понимание того, что возводится в степень, приводит к ошибкам: например, возведение выражения в степень захватывает только ту часть, что стоит в скобках, если они явно указаны.

Типичные ошибки: неверное применение закона распределения степени на сумму (напомним, что правило $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ справедливо только для произведения, а не для суммы), упускание условия ненулевого основания при использовании нулевой степени, и некорректное обращение с отрицательными показателями без перевода в дробь.

{IMAGE_0}