Показатель степени

Показатель степени — это число, которое указывает, сколько раз основание возводится в произведение само на себя. В записи $a^n$ число a называется основанием степени, а n — показателем степени. При натуральном показателе это определение означает, что степень равна последовательному умножению основания на себя: $a^n=\underbrace{a\cdot a\cdots a}_{n}$. Такое представление помогает понять смысл степени как укорочённой записи для длинного произведения одинаковых множителей.

Показатель степени обладает рядом простых и удобных свойств, которые широко используются в вычислениях и доказательствах. Для целых показателей справедливы соотношения, позволяющие сокращать и упрощать выражения: умножение степеней с одинаковым основанием даёт $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, возведение степени в степень даёт $(a^m)^n=a^{m n}$, а возведение произведения в степень даёт $(ab)^n=a^n b^n$. Особые случаи — нулевой и отрицательные показатели. Нулевой показатель превращает любое ненулевое основание в единицу: $a^0=1\quad(a\ne0)$, а отрицательный показатель отвечает за обратную величину: $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$. Дробные показатели вводят понятие корня: показателем вида 1/n обозначается n-й корень из основания, то есть $a^{1/n}=\sqrt[n]{a}$.

Понимание показателя степени полезно не только в алгебре, но и в геометрии, физике и прикладных задачах: площади и объёмы выражаются через степени, законы роста используют экспоненциальные выражения, а научная запись больших и малых чисел опирается на степени десятки. Освоив основные правила работы со степенями, можно быстро упрощать выражения, оценивать порядок величин и находить связи между размерами физических величин.