Виды углов

Что такое угол?

Угол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами, исходящими из одной точки (вершины). Угол показывает направление одного луча относительно другого и измеряется величиной.

Традиционно угол обозначают буквой возле вершины или именами трёх точек, например \(AOB\), где O — вершина. При этом для любых действий с величиной угла используют градусы или радианы. Полный оборот соответствует $360^\circ$.

Луч - definition

Классификация углов по величине

Углы по своей величине делят на несколько типов. Если угол равен $0^\circ$, его называют нулевым; точку, образующую такие лучи, обычно считают вырожденным случаем. Правильно выделить основные классы, которые часто встречаются в геометрии и тригонометрии.

Угол, равный $90^\circ$, называется прямым. Прямой угол является ориентиром для определения острых и тупых углов. Острый угол — это угол, величина которого меньше $90^\circ$, то есть попадает в интервал $90^\circ < \beta < 180^\circ$. Тупой угол — величина больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$, что формально записывается как $180^\circ < \delta < 360^\circ$.

Развернутый угол имеет величину $180^\circ$. Если угол больше развернутого, но меньше полного, его называют рефлексным (или тупым в большем смысле): {FORMULA_22}. Полный угол равен $360^\circ$.

Смежные и вертикальные углы

Смежные углы - два угла, у которых один общий луч, а другие лучи являются продолжениями друг друга; сумма смежных углов равна $180^\circ$.

Если два угла составляют линейную пару, их сумма всегда равна развернутому углу. Это удобное свойство часто используется при решении задач для определения одного угла по другому: например, если один угол равен $180^\circ = \pi\ \text{rad}$, то смежный будет равен $\angle A = 120^\circ,\ \angle B = 60^\circ$.

Вертикальные углы - углы, образованные при пересечении двух прямых, которые напротив друг друга; вертикальные углы равны друг другу, то есть если образованы углы $\angle 3 + \angle 4 = 180^\circ$, то они равны по значению.

Дополняющие понятия: дополнительные и смежные виды

Дополняющие (комплементарные) углы - пара углов, сумма которых равна $90^\circ$. Если первый угол равен $0^\circ < \alpha < 90^\circ$, то второй будет равен разности между $90^\circ$ и первым.

Дополнительные (супплементарные) углы - пара углов, сумма которых равна $180^\circ$. Простейшая задача: если один угол равен $180^\circ = \pi\ \text{rad}$, то дополнительный ему угол равен $\angle A = 120^\circ,\ \angle B = 60^\circ$.

Углы при параллельных прямых и секущей

При пересечении двух параллельных прямых секущей возникают специальные пары углов: соответственные, внутренние односторонние и попеременные внутренние (альтернативные). Эти углы обладают равенствами или суммами, полезными для доказательств и вычислений.

Соответственные углы - углы, расположенные в одинаковых положениях при пересечении секущей с двумя параллельными прямыми; соответствующие углы равны: например $\angle 7 = \angle 8$.

Попеременные внутренние (альтернативные внутренние) - пара углов, находящихся по разные стороны от секущей и между параллельными прямыми; они тоже равны: $\angle 5 = \angle 6$.

Биссектриса, измерения и перевод единиц

Биссектриса угла - луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на две равные части. Если весь угол выражается как $\angle 1 = \angle 2$, то каждая часть равна половине от этого значения.

В практических задачах часто выполняют перевод между градусами и радианами. Основное соответствие: $45^\circ = \dfrac{\pi}{4}\ \text{rad}$. Это позволяет переводить известные градусные значения в радианы: например $0^\circ < \alpha < 90^\circ$.

Применения классификации углов в задачах и черчении

Знание видов углов важно не только в теории: при решении задач на построение, в архитектуре, инженерии и физике часто требуется определить тип угла, составить уравнение на основе сумм и равенств углов и найти неизвестные величины. Классификация помогает выбирать правильный подход к доказательствам.

Например, при проектировании деталей важно знать, не будет ли угол слишком острым или слишком тупым для крепления; в тригонометрии — правильно выбрать функцию (sin, cos и т.д.) с учётом типа угла. В задачах с параллельными прямыми часто применяются равенства $\angle 5 = \angle 6$ и $\angle 7 = \angle 8$ для нахождения искомых величин.

Подытоживая: важно уметь распознавать нулевой, острый, прямой, тупой, развернутый, рефлексный и полный углы, а также понимать отношения между углами — смежность, вертикальность, соотношение при параллельных прямых и действия биссектрисы.