КонспектыМатематика

Попеременные внутренние (альтернативные внутренние)

Попеременные внутренние (альтернативные внутренние)

Попеременная (или альтернативная) внутренняя форма — это билинейная форма на векторном пространстве V над полем F, которая для любого вектора v удовлетворяет условию b(v,v)=0для всех v∈Vb(v,v)=0\quad\text{для всех }v\in V. Это значит, что значение формы на паре одинаковых векторов равно нулю; при этом основное требование — билинейность по каждому аргументу. Важный частный случай — невырожденная попеременная форма, когда отображение v\mapsto (w\mapsto b(v,w)) является изоморфизмом V на его двойственное пространство.

Попеременные формы тесно связаны с кососимметричными (скев-симметричными) формами: если характеристика поля F не равна 2, то из условия b(v,v)=0для всех v∈Vb(v,v)=0\quad\text{для всех }v\in V следует симметрия по знаку b(u,v)=−b(v,u)если char(F)≠2b(u,v)=-b(v,u)\quad\text{если }\mathrm{char}(F)\ne 2. Наиболее заметное применение таких форм — симплектическая геометрия: симплектическая форма на пространстве четной размерности — это невырожденная попеременная билинейная форма, которая задает «площадную» структуру на фазовом пространстве механики и обеспечивает инвариантность потоков Гамильтона.

В школьном курсе и на примерах удобно рассматривать низкие размерности: стандартная попеременная форма на R^{2} и R^{2n} записывается компактно с помощью матрицы антисимметричного вида. Ниже приведены простые примеры и их интерпретация.

Пример 1. На R^{2} часто используют форму ω((x1,x2),(y1,y2))=x1y2−x2y1\omega((x_1,x_2),(y_1,y_2))=x_1y_2-x_2y_1, которая вычисляет ориентированную площадь параллелограмма, натянутого векторами (x_1,x_2) и (y_1,y_2). В матричной записи эта форма задаётся через матрицу J: ω(x,y)=xTJy,J=(01−10)\omega(x,y)=x^{T}Jy,\qquad J=\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}. Для R^{2n} аналогичная конструкция даёт стандартную симплектическую форму, которую можно использовать для записи уравнений движения в классической механике. {IMAGE_0}