Нахождение доли числа (части от числа)

Что такое доля числа

Доля - часть целого, выраженная отношением этой части к целому; чаще всего доля задаётся дробью или процентом.

Когда говорят «найти долю числа», имеют в виду действие: определить, какую величину составляет указанная часть от заданного целого. Например, часть яблок в коробке, часть времени от урока, часть денег от суммы.

В математике доля числа обычно записывается дробью или процентом и применяется к заданному числу путём умножения. Это главный приём, которому и посвящён этот конспект.

Основной математический приём

Если долю числа задают обыкновенной дробью, то «доля числа N, равная дроби a/b» вычисляется по правилу: $\frac{a}{b}\cdot N$.

Это же правило можно записать в другом порядке, потому что умножение коммутативно: $N\cdot\frac{a}{b}$.

На практике это означает: либо умножить число на числитель дроби и разделить на знаменатель, либо сначала разделить число на знаменатель, а затем умножить результат на числитель. Оба пути дают одинаковый ответ.

Примеры вычислений с дробями

В этих примерах видно две стратегические возможности: выполнить умножение и деление в той последовательности, которая удобнее и уменьшает вычисления в столбик.

Доля числа, заданная в процентах

Процент - сотая часть целого; записывается знаком процента и означает «из ста».

Процент легко перевести в дробь: нужно разделить число процентов на сто. Например, $25\% = \dfrac{25}{100} = \dfrac{1}{4}$ — это удобная запись для дальнейших вычислений.

Чтобы найти процент от числа, умножаем исходное число на соответствующую дробь или на десятичную запись процента. Пример: найти двадцать пять процентов от числа: $25\%\cdot 120 = 30$.

Десятичные дроби как доли

Десятичная дробь - форма записи дроби с помощью запятой (или точки в международной записи), удобная для умножения и вычислений на калькуляторе.

Десятичную запись процента получают делением числа процентов на сто. Так, $0.2 = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}$. Тогда найти долю числа можно умножением: $0.2\cdot 50 = 10$.

Работая в столбик, иногда удобнее сначала сократить дробь, а иногда — перейти в десятичную форму; выбор зависит от конкретных чисел и удобства вычислений.

Альтернативная формула и приёмы сокращения

Умножение дроби на число можно переписать как дробь с произведением в числителе: $\dfrac{a}{b}\cdot N = \dfrac{a\cdot N}{b}$. Это даёт явную возможность сократить общий делитель числителя и знаменателя ещё до умножения.

Например, для нахождения $\dfrac{3\cdot 60}{5} = 36$ часто удобнее сначала разделить, а затем умножить: $60\div 5\cdot 3 = 12\cdot 3 = 36$.

Сокращение перед умножением уменьшает вычисления и снижает вероятность ошибок при работе вручную.

Практика с процентами и превышением

Также проценты могут быть больше ста. Например, сто пятьдесят процентов — это полтора от целого: $150\% = \dfrac{150}{100} = 1.5$. Тогда найти сто пятьдесят процентов от числа удобно как: $150\%\cdot 40 = 60$.

Сокращение дробей в задачах на доли

Иногда перед умножением выгодно предварительно сократить дробь. Например, дробь $\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}$ ярко показывает, что можно сократить общий делитель. Применение к задаче: найти $\dfrac{3}{4}\cdot 28 = 21$.

Если дробь и число имеют общий множитель, разделите сначала — это уменьшит числа в промежуточных шагах и ускорит вычисления.

Доли от сложных чисел и свойства дробей

Если нужно взять долю от произведения или от дроби, полезно помнить правило умножения дробей: $\dfrac{3}{8}\cdot 64 = 24$. Это правило помогает комбинировать операции и упрощать выражения.

Также полезно уметь работать с процентным уменьшением и увеличением: например, вычитая процентную долю из ста процентов, получаем оставшуюся часть: $75\%\cdot 200 = 150$.

Перевод между формами и проверка результата

Перевод дроби в десятичную и обратно помогает проверять результаты: например, дробь {FORMULA_22} наглядно соответствует десятой части. Всегда полезно проверить ответ альтернативным способом: перевести в проценты или в десятичную форму и ещё раз умножить.

Если в задаче несколько последовательных операций с долями, делайте промежуточные проверки и сокращения, чтобы избежать накопления ошибок.

Итоговые рекомендации

Главный алгоритм при нахождении доли числа: перевести долю в удобную форму (дробь или десятичную), умножить исходное число на эту величину, при необходимости сократить и проверить результат альтернативным способом.

Тренируйтесь на разных типах задач: простые дроби, проценты больше ста, десятичные дроби и комбинированные выражения. Постепенно вы овладеете выбором наиболее удобного приёма для каждого конкретного случая.

Иллюстрации и визуализация

Для наглядности используйте рисунки с делением целого на равные части и закрашиванием нужной доли. Пример схемы можно представить так: {IMAGE_0}.

Визуальная проверка помогает лучше понять смысл вычисления и увидеть, как доля распределяется по целому.