Умножение десятичных дробей на натуральные числа

Понятие и смысл операции

Десятичная дробь - число, записанное в виде целой и дробной частей, разделённых десятичной запятой; дробная часть выражается конечным набором цифр после запятой.

Натуральное число - положительное целое число, используемое, в том числе, как множитель при операциях умножения.

Умножение десятичной дроби на натуральное число по смыслу — это многократное сложение одной и той же дроби указанное число раз. Это важная операция в повседневных вычислениях: при расчётах цен, масс, длин и т. п. Понимание связи между умножением и сложением помогает лучше усвоить алгоритм выполнения действий и контролировать корректность результата.

Математически эту связь удобно записать формулой, показывающей умножение как повторное сложение: $a\cdot n=\underbrace{a+a+\dots+a}_{n\ \text{раз}}$

Правило выполнения умножения

Общепринятый практический приём при умножении десятичной дроби на натуральное число заключается в следующем: сначала выполняют умножение как для целых чисел, временно «убирая» десятичную запятую, а затем восстанавливают запятую в полученном результате так, чтобы количество цифр после запятой совпадало с количеством цифр после запятой в исходной дроби.

Пошагово алгоритм выглядит так: сначала записывают десятичную дробь без запятой (то есть как целое число), затем умножают полученное целое число на натуральный множитель, получают целочисленный результат; после этого в результате ставят десятичную запятую так, чтобы дробная часть имела ту же длину (в цифрах) что и в исходной дроби. Далее при необходимости убирают лишние нули в конце дробной части.

Рассмотрим конкретный разбираемый пример и выполним его по шагам. Сначала арифметическое действие как с целыми числами: $3{,}45\cdot4=345\cdot4=1380$ Затем восстанавливаем запятую в соответствии с тем, сколько цифр было после запятой в исходной дроби, получаем окончательный результат: $3{,}45\cdot4=13{,}80=13{,}8$

Ещё один короткий пример иллюстрирует, как перенос запятой работает при меньшем числе цифр в дробной части: сначала умножаем как целые числа, а потом возвращаем дробную часть на одно место: $0{,}6\cdot7=6\cdot7=42$ и финальный вид результата можно записать так: $0{,}6\cdot7=4{,}2$

Примеры и подробный разбор

Ещё один более общий пример с несколькими цифрами в целой и дробной частях: сначала умножаем как целые числа (без запятой), затем учитываем количество цифр после запятой исходной дроби и ставим запятую в полученном произведении: $12{,}34\cdot6=12{,}34\times6=74{,}04$

Практические советы и приёмы ускорения вычислений

Для ускорения вычислений полезно запоминать несколько стандартных приёмов. Например, умножение на десять, на сто и на тысячу удобно делать сдвигом запятой; умножение на двое, трое и т. п. можно проверять через соответствующее сложение. При умножении на составные натуральные множители иногда выгодно разложить множитель на простые множители или на удобное произведение (например, умножать сначала на два, затем на пять).

Ещё один приём — контроль правильности результата с помощью оценки порядка величины: если исходная дробь была менее единицы и множитель невелик, произведение не должно внезапно стать очень большим; такой быстрый «прикидочный» контроль помогает вовремя заметить ошибку в позиции запятой.

Если расчет выполняется в столбик, удобно располагать умножаемое и множитель так, как при умножении целых чисел, но не забывать затем вернуть запятую в итоговом результате. Иллюстративную схему можно поместить в учебное пособие или на доску для визуального запоминания: {IMAGE_0}

Типичные ошибки и рекомендации по их устранению

Чаще всего школьники допускают две группы ошибок: ошибку в самом умножении как целых чисел и ошибку в определении положения запятой в результате. Первая легко выявляется проверкой по таблице умножения или повторным вычислением; вторая — контролем количества цифр после запятой в исходной дроби.

Чтобы не ошибиться с запятой, можно перед умножением записать рядом — отдельно — количество знаков после запятой в исходном числе и затем убедиться, что после умножения в результате дробная часть содержит ровно такое число знаков (если при этом в конце появляются нули, их можно сократить).

Ещё одна рекомендация — при сомнениях выполнять проверку обратным действием: разделить полученный результат на тот самый натуральный множитель и убедиться, что получается исходная дробь. Если операция деления проста для вычисления в уме или в столбик, она служит хорошим способом проверки.