Натуральное число

Натуральное число — это базовый математический объект, используемый для счёта и нумерации. Под этим понятием обычно понимают положительные целые числа; в разных традициях к натуральным числам могут относиться либо только положительные числа, либо ноль тоже включается в множество. Обозначение множества натуральных чисел в классической записи выглядит как $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$, а альтернатива с нулём записывается как $\mathbb{N}_0=\{0,1,2,\dots\}$. Понятие натурального числа лежит в основе арифметики и теории чисел и служит отправной точкой при построении целых, рациональных и действительных чисел.

Среди важнейших свойств натуральных чисел — замкнутость относительно сложения и умножения: при сложении или умножении двух натуральных чисел снова получается натуральное число, что формально записывается как $\forall a,b\in\mathbb{N},\;a+b\in\mathbb{N}\;\wedge\;a\cdot b\in\mathbb{N}$. Кроме того, множество натуральных чисел обладает принципом хорошо-упорядоченности: любое непустое подмножество натуральных чисел имеет наименьший элемент, это удобно использовать в доказательствах методом индукции и при работе с делимостью (формулировка принципа даётся как $\forall S\subseteq\mathbb{N},\;S\neq\varnothing\Rightarrow\exists m\in S:\;\forall s\in S\; m\le s$). Наглядно натуральные числа можно представить на числовой прямой: {IMAGE_0}

Практическое применение натуральных чисел очевидно: они используются при счёте предметов, нумерации страниц, перечислении шагов алгоритма, в комбинаторике для подсчёта вариантов и в теории алгоритмов для оценки сложности. В школьной практике первые арифметические операции выполняются именно над натуральными числами, а свойства этих операций изучаются детально. Демонстрация простых вычислений в примерах ниже иллюстрирует, как работают правила сложения и как результат остаётся в том же классе чисел.