Диофантова аппроксимация

Диофантова аппроксимация — раздел теории чисел, изучающий, как хорошо вещественные числа можно приближать рациональными. Основная задача — для заданного вещественного числа найти бесконечно много рациональных приближений «высокого качества», то есть таких, что расстояние между исходным числом и приближением очень мало по сравнению с квадратом знаменателя или иной степенью. Теоремы типа Дирихле гарантируют существование хороших приближений; формально одна из классических формулировок выглядит так: $\forall \; N\in\mathbb{N},\ \exists\; p\in\mathbb{Z},\ 1\le q\le N:\ \left|\alpha-\tfrac{p}{q}\right|<\tfrac{1}{qN}$. Вследствие этого для любого иррационального числа существуют бесконечно многие приближения, удовлетворяющие неравенству $\left|\alpha-\tfrac{p}{q}\right|<\tfrac{1}{q^{2}}$.

Диофантова аппроксимация тесно связана с цепными дробями: сходящиеся дроби продолжающей дроби неизбежно дают оптимальные приближения по знаменателю и обеспечивают оценки качества приближения вида $\left|\alpha-\tfrac{p_{k}}{q_{k}}\right|<\tfrac{1}{q_{k}^{2}}$. Для отдельных типов чисел существуют более точные границы. Например, теорема Гёрвица утверждает улучшенный коэффициент в неравенстве для бесконечного числа приближений: $\left|\alpha-\tfrac{p}{q}\right|<\tfrac{1}{\sqrt{5}\,q^{2}}$. С другой стороны, результат Лиувилля показывает, что алгебраические числа степени n не допускают слишком сильных приближений рационалами: существует положительная константа C, такая что для всех рациональных $\left|\alpha-\tfrac{p}{q}\right|>\tfrac{C}{q^{n}}\quad\text{для всех рациональных }\tfrac{p}{q}$ достигается нижняя оценка точности приближения, что позволяет отличать трансцендентные числа от алгебраических.