Точка и прямая

Введение и смысл понятий

Тема «Точка и прямая» вводит самые базовые геометрические объекты, которые служат фундаментом для всех последующих построений в планиметрии и аналитической геометрии. Понимание того, что представляет собой точка как абстрактный объект и прямая как бесконечный набор точек, важно для формулировки более сложных задач: от доказательств до построения уравнений на координатной плоскости. Для наглядности здесь можно представить схему: {IMAGE_0}.

В дальнейшем мы будем использовать два подхода к работе с этими объектами: качественный (геометрический, описательный) и количественный (аналитический, координатный). Переход от идеи «точки без размеров» к её координатному образу даёт возможность применять алгебраические методы и находить точные числовые характеристики взаимного расположения точек и прямых.

Определения основных понятий

Точка - базовый геометрический объект, не имеющий размеров, обозначающий положение в пространстве или на плоскости.

Прямая - бесконечное множество точек, продолжающееся в обоих направлениях; задаётся различными способами в зависимости от контекста (геометрически или аналитически).

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя конечными точками; он содержит эти две точки и все точки между ними.

Луч - часть прямой, имеющая начало в одной точке и продолжающаяся в одном направлении бесконечно.

Координаты точки и обозначения

Для работы с точками на плоскости удобно вводить декартовы координаты. Точка обозначается парой чисел, записываемой в виде координатного представления. Для двух точек A и B мы будем писать их координаты так: $(x_1,\,y_1)$ и $(x_2,\,y_2)$ соответственно.

В аналитической геометрии гораздо удобнее оперировать именно такими обозначениями: координаты дают возможность вычислять расстояния, середины и проверять коллинеарность, используя алгебраические формулы. Кроме того, по координатам можно получить уравнение прямой, проходящей через две данные точки, или параметрические выражения для всех точек на прямой.

Уравнения прямой на плоскости

Прямая на плоскости может быть задана в нескольких эквивалентных формах. Общая форма уравнения прямой называется канонической или общей и записывается как $ax + by + c = 0$.

Если известны координаты двух различных точек, через которые проходит прямая, то её уравнение можно записать в виде двухточечной формы: $\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$. Эта форма удобна тем, что явно использует координаты заданных точек и не требует вычисления дополнительного параметра.

Для решения задач часто используют и наклонно-координатную форму. Наклон (угловой коэффициент) прямой между двумя точками выражается как {FORMULA_2_EXTRA} и уравнение прямой с известным наклоном и проходящей через точку записывают как $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.

Параметрические и векторные представления

Параметрическая запись прямой удобна при решении задач, связанных с движением вдоль прямой или при работе с векторами. Если точка $\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\end{cases}$ является точкой на прямой, а вектор направляющий — $\vec r = \vec r_0 + t\vec v$, то параметрическая форма даёт координаты любой точки на прямой через параметр t: $\vec r = \vec r_0 + t\vec v$.

В векторной записи то же самое выглядит компактно: радиус-вектор произвольной точки прямой равен сумме радиус-вектора опорной точки и произвольного множителя на направляющий вектор, что записывается как $(x_3,\,y_3)$.

Расположение точек на прямой. Коллинеарность

Три и более точек называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой. Для проверки коллинеарности трёх точек с координатами $(x_1,\,y_1)$, $(x_2,\,y_2)$ и $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ можно использовать условие, основанное на равенстве нулю ориентированного площади треугольника, представленного детерминантом: $\begin{vmatrix}1 & x_1 & y_1 \\ 1 & x_2 & y_2 \\ 1 & x_3 & y_3\end{vmatrix} = 0$.

Это условие удобно при проверке задач: если детерминант равен нулю, то площадь треугольника нулевая и точки лежат на одной прямой. В противном случае точки не коллинеарны и образуют невырожденный треугольник.

Расстояние между двумя точками и середина отрезка

Ключевые величины при работе с точками на плоскости — это длина отрезка между двумя точками и координаты середины отрезка. Расстояние между точками с координатами $(x_1,\,y_1)$ и $(x_2,\,y_2)$ даётся формулой расстояния: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$.

Координаты середины отрезка между этими точками вычисляются по формуле, дающей среднее арифметическое координат по каждой оси: $\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\,\dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$. Эти формулы часто используются при делении отрезков в заданном отношении и при построении медиан и биссектрис в треугольнике.

Перпендикулярность прямых и расстояние от точки до прямой

Две ненулевые прямые на плоскости перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно $m_1 m_2 = -1$. Это условие удобно для проверки и построения перпендикуляров в координатной геометрии.

Расстояние от точки с координатами $\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\end{cases}$ до прямой в общем виде $ax + by + c = 0$ вычисляется по формуле: $\dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. Эту формулу часто применяют при решении задач на минимизацию расстояния, нахождении кратчайшего расстояния и при построениях с перпендикулярами.

Примеры и типовые задачи

Практические замечания и советы

При решении задач сначала рекомендуется выбрать удобную форму уравнения прямой: если заданы две точки — двухточечная форма, если известен наклон и одна точка — наклонная форма, если требуется общий вид — привести к общей форме $ax + by + c = 0$. Правильный выбор сокращает вычисления и уменьшает вероятность ошибок.

Следите за вырожденными случаями: при расчёте наклона формула {FORMULA_2_EXTRA} не применима, если абсциссы совпадают (деление на ноль). В таких случаях прямая вертикальна и имеет уравнение вида {FORMULA_2_VERTICAL} (специальный вид общего уравнения). Для вычислений расстояний и проверок коллинеарности удобно сохранять вычисления в виде дробей до последнего шага.