Деление смешанных чисел

Что такое смешанное число и связанные понятия

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части, например $2\,\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$.

Неправильная дробь - дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю; она может соответствовать смешанному числу, например $\frac{7}{3}$ соответствует смешанному числу $3\,\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$.

Понимание связи между смешанными числами и неправильными дробями — ключ к правильному выполнению деления. Обычно сначала смешанное число преобразуют в неправильную дробь, затем выполняют операцию деления, используя правила деления дробей и упрощения.

Полезно также знать понятие обратной (рецепрической) дроби: обратная дробь для дроби задана таким образом, что их произведение равно единице. Это понадобится при превращении деления в умножение.

Преобразование смешанного числа в неправильную дробь

Общий приём: если у вас есть смешанное число с целой частью a, числителем b и знаменателем c, то его можно записать как неправильную дробь по формуле $a\,\frac{b}{c}=\frac{a\,c+b}{c}$.

Например, смешанное число $2\,\frac{1}{3}=\frac{7}{3}$ преобразуется в неправильную дробь $\frac{7}{3}$. Аналогично, $4\,\frac{2}{5}=\frac{22}{5}$ равно $\frac{22}{5}$.

Обратная дробь - дробь, полученная перестановкой числителя и знаменателя; например обратная для $\frac{3}{4}$ равна $\frac{4}{3}$.

После преобразования к неправильной дроби становится возможным применить стандартное правило деления дробей: деление заменяют умножением на обратную дробь.

Правило деления дробей и смешанных чисел

Если нужно разделить одну дробь на другую, то выполняют операцию по правилу: $\frac{m}{n}\div\frac{p}{q}=\frac{m}{n}\cdot\frac{q}{p}$. Это правило работает и для дробей, полученных из смешанных чисел.

Рассмотрим пример: нужно вычислить $3\,\frac{1}{2}\div1\,\frac{1}{4}$. Сначала преобразуем смешанные числа: $3\,\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$ и $1\,\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$. Затем применяем правило деления: $\frac{7}{2}\div\frac{5}{4}=\frac{7}{2}\cdot\frac{4}{5}$. После перемножения получаем $\frac{28}{10}$, что при сокращении равно $\frac{14}{5}$. В виде смешанного числа это $2\,\frac{4}{5}$.

Деление смешанного числа на целое число и на дробь

Чтобы разделить смешанное число на целое, представьте целое как дробь с знаменателем 1 и примените то же правило умножения на обратную дробь. Например, $5\,\frac{3}{4}=\frac{23}{4}$ преобразуется в $2=\frac{2}{1}$, а само деление $\frac{23}{4}\div\frac{2}{1}=\frac{23}{4}\cdot\frac{1}{2}$ заменяется на умножение $\frac{23}{8}$, что даёт $2\,\frac{7}{8}$ и в виде смешанного числа $\frac{1}{2}$.

Если делитель — дробь, например $\frac{1}{2}^{-1}=\frac{2}{1}$, то порядок действий: 1) преобразовать смешанное число в неправильную дробь; 2) умножить на обратную для делителя, т.е. на $2\,\frac{2}{3}=\frac{8}{3}$; 3) сократить и при необходимости привести к смешанному числу. Пример: $\frac{8}{3}\div\frac{1}{2}=\frac{8}{3}\cdot\frac{2}{1}$ → $\frac{16}{3}$ → $5\,\frac{1}{3}$ → $\frac{15}{8}\cdot\frac{6}{35}$.

Упрощение до умножения и приёмы сокращения

При выполнении умножения дробей после превращения деления в умножение полезно сокращать множители до умножения. Это уменьшит числа и упростит вычисления. Например, при перемножении $\frac{3}{4}\cdot\frac{3}{7}$ можно сократить общие множители, получив $\frac{9}{28}$ и затем результат $3\,\frac{3}{4}=\frac{15}{4}$.

Сокращать удобно парно: числитель одной дроби с одинаковым множителем в знаменателе другой дроби. Это эквивалентно делению числителя и знаменателя на общий делитель до умножения.

Словесные задачи и применение

Деление смешанных чисел часто встречается в задачах на делёж, длину или скорость. Например, если отрезок длиной $\frac{15}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{4}\cdot\frac{5}{2}$ делят на куски по $\frac{1}{2}^{-1}=\frac{2}{1}$, то число кусков равно $\frac{75}{8}$ = $9\,\frac{3}{8}$ = $\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}=\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\;(\text{это ошибка})$.

Важно уметь дать ответ в подходящей форме: иногда требуется целое число кусков, иногда — точная дробь или смешанное число с остатком.

Типичные ошибки и советы

Частая ошибка — не преобразовать смешанное число в неправильную дробь перед делением или забыть поменять делитель на обратную дробь. Например, неправильно выполнить $\frac{14}{5}=2\,\frac{4}{5}$ вместо правильного {FORMULA_36}.

Советы при выполнении упражнений: 1) всегда переводите смешанные числа в неправильные дроби; 2) заменяйте деление на умножение на обратную дробь; 3) сокращайте до умножения; 4) приводите результат к смешанному числу при необходимости.

Для наглядности можно использовать рисунки: разметить отрезок, показать деление на равные части или использовать круговые диаграммы, где доли показывают дробную часть. Например, иллюстрация процесса деления может выглядеть как {IMAGE_0} или {IMAGE_1}.