Неправильная дробь

Неправильная дробь — это дробь вида $\frac{a}{b}$, где числитель и знаменатель являются целыми числами, причём числитель не меньше знаменателя по абсолютной величине. Формально это условие можно записать как $|a|\ge|b|$. В школьном курсе под «неправильной» понимают не качество вычисления, а именно соотношение двух частей дроби: когда часть, которую мы делим (числитель), равна или больше части, на которую делим (знаменатель), результат дроби не получается чисто «меньше единицы». Неправильные дроби включают как положительные, так и отрицательные случаи — для отрицательных дробей важно сравнивать абсолютные значения числителя и знаменателя.

Практическое значение неправильных дробей проявляется при переводе их в смешанные числа, при упрощении выражений и при выполнении арифметических действий. Для перехода от неправильной дроби к смешанному числу применяется деление с остатком: числитель делится на знаменатель, получается целая часть и остаток, после чего дробь представляют как сумму целой части и оставшейся дроби. Общая формула разложения имеет вид $\frac{a}{b}=q+\frac{r}{b}$, где целая часть и остаток выражаются через деление: $q=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor,\quad r=a-qb,\quad 0\le r<|b|$. Например, дробь $\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$ записывается как смешанное число; это видно из того, что $7=2\cdot3+1$. Если числитель делится на знаменатель без остатка, неправильная дробь эквивалентна целому числу, как в случае $\frac{4}{2}=2$.