Нахождение числа по его дроби

Понятие: дробь как часть целого

Дробь - число, показывающее, на какую часть берётся целое: первая часть называется числителем, вторая — знаменателем.

Числитель - верхняя часть дроби, показывает, сколько частей берётся.

Знаменатель - нижняя часть дроби, показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Когда говорят «дробь числа», имеют в виду, что некоторая часть целого взята в определённом отношении. Обозначение дроби обычно записывают в виде $\displaystyle \frac{a}{b}$, где $\displaystyle \frac{a}{b}$ — общая запись дроби с числителем и знаменателем. Если известна величина этой части, то задачу можно свести к уравнению и найти исходное целое число.

Основной метод — составление уравнения

Обычно ситуацию формализуют так: «дробь числа равна известной величине». Это записывается уравнением $\displaystyle \frac{a}{b}x=p$, где x — искомое число, а p — известная часть. Такое уравнение решается делением обеих частей на дробь, что формально выглядит как $\displaystyle x=\frac{p}{\frac{a}{b}}$ и упрощается до умножения на обратную дробь $\displaystyle x=p\cdot\frac{b}{a}$.

Важно понимать интуитивно: деление на дробь эквивалентно умножению на её обратную. На практике удобнее сократить и упростить выражение до облегчённого вычисления — это сокращает вероятность ошибок при умножении больших чисел.

Перед решением задач проверьте, не удобнее ли сначала сократить дробь или представить процент в виде дроби. Часто перевод процентов в дроби и сокращение облегчают вычисления и уменьшают количество действий.

Пошаговые примеры и их разбор

Особые случаи и полезные замечания

Если в уравнении стоит ноль в качестве дроби, например $\displaystyle 0\cdot x=p$, то есть три возможных ситуации: если правая часть не равна нулю, решения не существует; если правая часть равна нулю, любое x подходит. Такие случаи важно проговаривать отдельно, иначе можно допустить логическую ошибку.

Если дробь отрицательная, правило остаётся тем же: делим на дробь или умножаем на её обратную со знаком. Например, при $\displaystyle -\frac{2}{3}x=6$ получаем $\displaystyle x=6\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)=-9$. Обратите внимание на знак при умножении на обратную дробь.

Перед умножением часто полезно выполнить сокращение. Например, при уравнении $\displaystyle \frac{14}{35}x=28$ заметим, что дробь равна $\displaystyle \frac{14}{35}=\frac{2}{5}$, тогда получаем $\displaystyle x=28\cdot\frac{5}{2}=70$ — меньше вычислений и меньше ошибок.

Ещё один практический совет: если знаменатель большой, ищите общий делитель между числом в правой части и знаменателем. Часто это позволяет избежать больших промежуточных чисел и упростить вычисление.

Типичные ошибки и как их избежать

Первая ошибка — попытка просто «умножить числитель на часть». Надо помнить, что дробь действует на всё исходное число, а не только на числитель или знаменатель отдельно. Всегда оформляйте мысль в виде уравнения $\displaystyle \frac{a}{b}x=p$ и решайте его.

Вторая ошибка — неверный перевод процентов в дроби. Процент всегда переводится как деление на сто: например, записанный в десятичных дробях процент легче перевести в обыкновенную дробь и сократить перед умножением ($\displaystyle 25\%=\frac{25}{100}=\frac{1}{4}$).

Третья ошибка — забыть проверить полученное значение: всегда подставляйте найденный x в исходное выражение и убеждайтесь, что получается заданная часть (пример проверки приведён в первом примере с $\displaystyle \frac{3}{4}\cdot20=15$).

Задачи для самостоятельной тренировки

1) Найдите число, если $\displaystyle \frac{3}{4}x=15$ равно 15. (Решение: см. пример 1.)

2) Какое число, если $\displaystyle \frac{1}{4}x=30$ равно 30? (Решение: см. пример 2.)

3) Найдите x, если $\displaystyle \frac{5}{2}x=50$ равно 50.

4) Решите: $\displaystyle \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}x=18$ = 18.

Итоговые рекомендации

Всегда формулируйте задачу в виде уравнения и следуйте правилу: деление на дробь — это умножение на обратную дробь ($\displaystyle \frac{p}{\frac{a}{b}}=p\cdot\frac{b}{a}$). Старайтесь сокращать до вычислений с маленькими числами и проверять результат подстановкой в исходное выражение.

Если встречаются сложности с процентами, сначала переведите их в дроби, упростите, а уже затем решайте уравнение. Для тренировки решайте задачи с разными типами дробей: правильными, неправильными, дробями от дроби и с отрицательными значениями.

При необходимости можно проиллюстрировать ситуацию схемой или рисунком, где показано деление целого на равные части и выделение нужного числа частей {IMAGE_0}.