Степень произведения и частного

Определение и основное правило

Когда возводят в степень произведение двух чисел или выражений, показатель степени распределяется по множителям: результат равен произведению тех же множителей, каждый из которых возведён в эту степень. Это удобное свойство позволяет существенно упростить вычисления и преобразования алгебраических выражений. Формально это записывают как $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Аналогичная закономерность действует и для частного: степень от частного равна частному степеней числителя и знаменателя при условии, что знаменатель отличен от нуля. Это правило часто используется при сокращении дробей и при работе с рациональными выражениями, см. $(ab)^n = \underbrace{(ab)\cdots(ab)}_{n}$.

Степень произведения - выражение, в котором показатель степени применяется ко всему произведению, например $\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$.

Доказательство для натурального показателя

Чтобы понять, почему правило работает, достаточно обратиться к определению степени при натуральном показателе. Степень с показателем n означает повторное умножение основания на себя n раз, поэтому $(ab)^n = \underbrace{a\cdots a}_{n}\;\underbrace{b\cdots b}_{n} = a^n b^n$ — запись источника, означающая, что произведение (ab) умножается само на себя n раз.

При раскрытии скобок мы получаем подряд все множители a и все множители b, то есть последовательность, в которой сначала идут n множителей a, затем n множителей b. Это можно записать как $(ab)^0 = 1\quad (a\ne 0,\; b\ne 0)$, откуда прямо следует равенство в общем виде и правило распределения показателя степени по множителям.

Такое доказательство основано только на определении степени и свойстве ассоциативности и коммутативности умножения; оно не требует специальных аналитических приёмов и справедливо для любых коммутативных кольцевых структур, где операция умножения удовлетворяет обычным законам.

Нулевой и отрицательный показатель

Особый интерес представляет поведение выражений при нулевом показателе степени. По определению непустой базы степени и правилам сокращения степеней следует, что $(ab)^{-n} = a^{-n} b^{-n}$. Это правило вытекает из равенства степеней с последующим делением одинаковых множителей.

Если показатель отрицательный, то возведение в отрицательную степень эквивалентно взятию обратного числа и дальнейшему возведению в положительную степень. Для произведения это даёт $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} = \frac{b^{n}}{a^{n}}$. Аналогично для частного получаем: $(ab)^{\frac{1}{m}} = a^{\frac{1}{m}} b^{\frac{1}{m}}\quad (a\ge 0,\; b\ge 0)$.

При работе с нулём и отрицательными показателями важно соблюдать ограничения: базы, стоящие в знаменателе или под знаком деления, не должны быть равны нулю, иначе выражение не определено в поле действительных (или комплексных) чисел.

Дробные показатели, корни и условия применимости

Для дробных показателей правило распределения остаётся верным при дополнительных оговорках о знаках: корень чётной степени требует неотрицательных подкоренных значений в рамках вещественных чисел. При этом справедливо равенство $(ab)^{\frac{p}{q}} = a^{\frac{p}{q}} b^{\frac{p}{q}}\quad (a\ge 0,\; b\ge 0)$ при соответствующих условиях. Это означает, что извлечение m-й степени корня из произведения равно произведению m-х корней из множителей, если подкоренные неотрицательны.

Более общая запись для рационального показателя выглядит как $\big((ab)^m\big)^n = (ab)^{mn} = a^{mn} b^{mn}$. Эта запись полезна при переводе степенных выражений в вид с корнями и обратно, а также при упрощении сложных выражений, содержащих несколько степеней и корней.

Следует помнить, что для комплексных чисел правило распространяется шире, но тогда появляются вопросы выбора ветви корня и использования комплексных аргументов; в школьной программе обычно ограничиваются действительными числами и условием неотрицательности подкоренных в случае чётных корней.

Возведение степени произведения в степень

Если сначала возвести произведение в одну степень, а затем полученный результат в другую, общий показатель умножается. Это отражает свойство степени от степени и формально записывается как $(2x)^3 = 8x^3$. Такое распространение удобно при упрощении выражений вида возведённых в сложную показательность скобок.

Это правило совместимо с предыдущими: сначала можно распределить степень по множителям, а потом применить правило степени от степени к каждому множителю по отдельности; или наоборот, сначала применить степень от степени к скобке, затем распределить. Оба подхода приводят к одинаковому результату при соблюдении условий на основания.

Примеры и типичные задачи

Советы для решения задач

1) Всегда проверяйте область допустимых значений: знаменатель не должен равняться нулю, для чётных корней подкоренное должно быть неотрицательным (если рассматриваются действительные числа). 2) При упрощении комбинируйте правила: сначала можно распределить степень по произведению, затем применить правило степени от степени, и в конце — сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

Практика с разными типами показателей (натуральными, нулём, отрицательными, дробными) поможет выработать интуицию и избежать типичных ошибок, например неверного обращения со знаком при вынесении общего множителя из подкоренного выражения или при возведении отрицательного числа в дробную степень.