Степень произведения

Под «степенью произведения» понимают возведение в степень произведения нескольких множителей. Проще всего это формулируется для двух множителей: если нужно возвести в целую степень произведение a и b, то получаем равенство $(ab)^n = a^n b^n$. Это свойство обобщается на любое конечное число сомножителей: для произведения a_1, a_2, …, a_k справедливо $(a_1 a_2 \dots a_k)^n = a_1^n a_2^n \dots a_k^n$. Иными словами, степень «распределяется» по множителям: каждый множитель возводится в ту же степень, и затем полученные степени перемножаются.

Практическое применение этого правила очень широко: оно позволяет упрощать выражения, сокращать вычисления и доказывать равенства. Отдельные частные случаи полезны при решении задач: например, нулевая степень даёт $(ab)^0 = 1\quad (a\ne0,\; b\ne0)$, а отрицательные показатели приводятся по формуле $(ab)^{-n} = a^{-n} b^{-n}$. Для рациональных показателей m/n формула остается верной при дополнительных условиях на признаки подкорневых выражений; при этом для неотрицательных a и b имеем $(ab)^{\frac{m}{n}} = a^{\frac{m}{n}} b^{\frac{m}{n}},\quad a,b\ge0$. В геометрии, физике и математическом анализе это правило помогает при работе с произведениями функций, степенными рядами и преобразованиями переменных. {IMAGE_0}

Ниже приведены короткие примеры, иллюстрирующие правила на практике.