Квадратичные диофантовы уравнения

Определение и общая постановка

Квадратичное диофантово уравнение - это уравнение второй степени с целыми коэффициентами, для которого ищут целочисленные решения.

В простейшем случае задача формулируется как поиск целых корней для произвольного квадратного многочлена, то есть для выражения $ax^2+bx+c=0$. Главная особенность диофантовой постановки в том, что неизвестные должны быть целыми числами, а коэффициенты обычно принадлежат целым числам.

Ключевым инструментом при исследовании таких уравнений является дискриминант и критерий существования целочисленных корней через представление дискриминанта как квадрата целого числа. Дискриминант вводится формулой $D=b^2-4ac$ и условие того, что дискриминант является полным квадратом, записывается как $D=k^2$.

Метод дискриминанта и редукции

Для одного переменного критерий целочисленных решений легко формализуется: если уравнение имеет вид $ax^2+bx+c=0$, то при целых a,b,c корни выражаются по формуле $x=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$. Однако для целых корней требуется, чтобы значение под корнем было полным квадратом, поэтому анализ сводится к исследованию выражения $D=b^2-4ac$ на предмет того, когда оно равно квадрату целого числа $D=k^2$.

В случае общих плоских конических уравнений второго порядка с двумя переменными уравнение имеет вид $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$. Такие уравнения можно приводить к более простым формам с помощью линейных замен переменных и деления на общий множитель, после чего применяют аналогичные критерии и методы редукции.

Иногда задачу удаётся упростить до типа Пелля, к которому относятся уравнения вида $x^2-Dy^2=1$. Для положительных невозводимых в квадрат D такие уравнения имеют бесконечно много решений, которые получают через фундаментальное решение и повторные умножения, что формализуется формулой $x_k+y_k\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^k$. При этом важно условие на D, что оно целое, положительное и не является полным квадратом, записанное как $D\in\mathbb{Z},\ D>0,\ \text{не\ квадрат}$.

Квадратичные формы и их роль

Квадратичная форма - однородный многочлен второй степени от двух переменных, обычно записываемый как $Q(x,y)=ax^2+bxy+cy^2$.

Более общая запись квадратичной формы выглядит как $ax^2+bxy+cy^2=n$, где слева стоит двоичная квадратичная форма, а справа — целое число, которое мы хотим представить этой формой. Вопрос о представимости числа n формой Q(x,y) — центральная задача теории квадратичных форм и важная часть изучения квадратичных диофантовых уравнений.

Дискриминант формы также определяется выражением, аналогичным уже знакомому, и равен $D=b^2-4ac$. Классы эквивалентности форм, редукция и теория принадлежности к определённым родам (генусам) помогают понять, какие числа и каким образом представляются указанной формой, и поэтому служат мощным теоретическим инструментом.

Метод бесконечного спуска и уравнения типа Пелля

Метод бесконечного спуска — это способ доказательства отсутствия нетривиальных решений или получения всех решений, основанный на идее того, что из существования минимального решения можно построить более мелкое, что противоречит минимальности. В контексте квадратичных уравнений часто используют этот метод, чтобы исключить определённые типы решений или сузить возможные случаи.

Уравнение Пелляя типа $x^2-Dy^2=1$ имеет важное свойство: при наличии фундаментального нетривиального решения можно получить всю бесконечную последовательность решений по формуле умножения в кольце Z[√D], что выражается как $x_k+y_k\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^k$. Пример уравнения, где метод простейшего перебора в сочетании с бесконечным спуском позволяет получить все решения, — уравнение {FORMULA_15}.

Модификации этого метода применимы и к большим классам бинарных квадратичных уравнений, где для доказательства отсутствия целых решений находят аргумент, приводящий к созданию бесконечно убывающей последовательности положительных целых чисел, что невозможно.

Примеры, разборы и упражнения

Разбор конкретных уравнений помогает закрепить общие идеи. Например, уравнение $x^2+x-6=0$ анализируется тем же методом дискриминанта: дискриминант вычисляется как $D=1+24=25$, что дает по формуле корней $x=\dfrac{-1\pm5}{2}$ и окончательные целые корни $x=2,\;x=-3$.

В качестве упражнений рекомендуется разобрать несколько задач: привести к каноническому виду общее уравнение второго порядка, исследовать представимость небольших целых чисел заданной квадратичной формой, а также исследовать уравнения вида Пелля на предмет существования фундаментального решения и построения последовательности решений.

Заключение: квадратичные диофантовы уравнения соединяют элементарные методы алгебры (дискриминант, приведение) с более глубокими темами теории чисел (квадратичные формы, теория Пелля, метод бесконечного спуска). По мере усложнения уравнений появляется необходимость привлекать арифметику квадратичных полей, теорию идеалов и свойства расширений типа Q(√D), но базовые методы остаются теми же: редукция, анализ дискриминанта и поиск фундаментальных решений.