Раскрытие скобок и распределительный закон

Понятие раскрытия скобок

Раскрытие скобок - операция замены произведения множителя на сумму или разность членов внутри скобок на эквивалентную сумму или разность отдельных произведений.

Раскрытие скобок — одна из базовых алгебраических действий, которую используют при упрощении выражений, при решении уравнений и при преобразовании формул. Смысл операции — перемножить каждый член выражения в скобках на множитель, стоящий перед скобками. Формально этот процесс задаёт распределительный закон:

$(a+b)c=ac+bc$

Если рассмотреть конкретный числовой пример, то приложение закона даёт последовательность вычислений: $3\cdot2+3\cdot5$ = $2+5=7$ = $4(x+3)=4x+4\cdot3$ .

Распределительный закон: общее правило и варианты

Распределительный закон - правило, по которому произведение суммы или разности выражений на множитель равняется сумме или разности произведений этого множителя на каждый член суммы или разности.

Закон действует в двух основных вариантах: когда множитель стоит слева и когда справа от скобок. Оба варианта эквивалентны и записываются так:

$a(b-c)=ab-ac$

Также закон применяется и при разности в скобках, при этом знак минус корректно распределяется на все члены скобки:

$3(2+5)$

Пошаговое раскрытие скобок: правила и методика

Для того чтобы раскрыть скобки, полезно следовать простому алгоритму: определить множитель перед скобкой, умножить этот множитель на каждый член внутри скобки и записать суммы или разности полученных произведений. На уровне практики часто выполняют такие вычисления в несколько шагов, чтобы не допускать ошибок при работе с буквенными выражениями или отрицательными числами.

Например, рассмотрим выражение с буквенным множителем. Применяя правило, мы получаем последовательность действий: сначала умножаем, затем упрощаем численные произведения и, если нужно, собираем подобные члены. Иллюстрация этого подхода:

$4\cdot3=12$ , затем вычисляем $4x+12$ и получаем окончательный вид $-2(3-x)=-2\cdot3+(-2)\cdot(-x)$ .

Обратите внимание: при умножении на сумму порядок слагаемых внутри скобки не меняет результата, а при умножении на разность важно сохранить знак каждого слагаемого — минус перед членом останется, но при умножении на отрицательный множитель он может смениться на плюс.

Минусы и отрицательные множители

Работа с отрицательными множителями требует аккуратности: знак минус, стоящий перед скобкой, равносилен множителю –1, который нужно распространить на все члены в скобке. Если внутри скобки есть уже отрицательный член, то при умножении минус на минус даст плюс.

Например, раскрывая скобки в выражении $-2\cdot3=-6$ мы вычисляем $(-2)\cdot(-x)=2x$ и $-6+2x$ , что приводит к упрощённому виду $ab+ac=a(b+c)$ .

Такой способ позволяет быстро получить упрощённую форму и избежать ошибок при переходе к решению уравнений или при дальнейшей алгебраической обработке выражений.

Обратная операция: вынесение общего множителя

Вынесение общего множителя - процедура, обратная раскрытию скобок: выделение общего множителя из суммы или разности членов и запись выражения в виде произведения этого множителя на скобку.

Вынесение общего множителя часто применяется для сокращения выражений и подготовки их к решению уравнений или к дальнейшему факторингу. Обратный к распределительному закону приём записывается следующим образом:

$6x+12=6(x+2)$

Например, выражение $6x+12=6\cdot x+6\cdot2$ можно получить, заметив общий множитель и вынеся его за скобку: $2(x+3)=14$ .

Вынесение множителя облегчает анализ выражения: становится видно, какие части зависят от общего множителя, и это часто упрощает как вычисления, так и доказательные рассуждения.

Применение при упрощении выражений и решении уравнений

Распределительный закон — ключевой инструмент при переходе от сложной формы выражения к более простым формам, пригодным для дальнейшего решения задач. Частая задача — раскрыть скобки, собрать подобные члены и получить линейное уравнение или квадратный многочлен для дальнейшего анализа.

Рассмотрим простое линейное уравнение: $2x+6=14$ . После раскрытия скобок получаем $2x=8$ , далее переносим свободные члены и делим на коэффициент при неизвестном, что даёт $x=4$ и, в итоге, $(x+2)(x+3)=x(x+3)+2(x+3)$ .

Для произведения двух двучленов используется приём последовательного применения распределительного закона: сначала умножаем первый множитель на каждый член второго, затем второй — на каждый член первого, и собираем полученные слагаемые. Принцип показан на примере умножения двух простых двучленов:

$x(x+3)=x^2+3x$ , затем $2(x+3)=2x+6$ и $x^2+5x+6$ , в итоге получаем $5(a-4)=5a-20$ .

Советы, частые ошибки и упражнения

При раскрытии скобок часто встречаются типичные ошибки: забывают умножить на все члены скобки, путают знаки при разности, неправильно работают с отрицательными множителями. Чтобы минимизировать ошибки, рекомендую: проговаривать вслух каждое умножение, проверять знаки и, при необходимости, выполнять вычисления в столбик для численных множителей.

Ниже — несколько упражнений для самостоятельной практики. Попробуйте сначала применить распределительный закон, затем упростить выражение:

1) $-3(2x-5)=-6x+15$

2) $9y+12=3(3y+4)$

3) $(x-1)(x+5)=x^2+4x-5$

4) {FORMULA_30}

Решая такие упражнения, старайтесь делать все промежуточные шаги записанными: это поможет быстро найти и исправить ошибку, если итог окажется неправильным. Для оформления решений используйте порядок действий: раскрытие скобок, сбор подобных членов, приведение подобных слагаемых, проверка результата подстановкой.

Основные

Курсы

Другое