Распределительный закон

Распределительный закон — одно из базовых свойств арифметики и алгебры, связывающее операции сложения и умножения. Он формулируется так: если число (или выражение) умножается на сумму двух слагаемых, то произведение равно сумме произведений этого числа на каждое из слагаемых по отдельности. В символической форме это записывается как $a(b+c)=ab+ac$. Это свойство позволяет раскрывать скобки и упрощать выражения при вычислениях и при преобразовании алгебраических выражений. {IMAGE_0}

Распределительность действует и для вычитания: умножение на разность тоже «распределяется» по слагаемым, то есть результат можно представить как разность произведений, см. $a(b-c)=ab-ac$. В общем виде различают левую и правую распределительность: в коммутативных структурах обе формы совпадают, а в некоммутативных (например, при умножении матриц) важно учитывать порядок множителей — левая и правая формы записывают соответственно как $a(b+c)=ab+ac$ и $(b+c)a=ba+ca$. Свойство широко используется при решении уравнений, упрощении выражений, в доказательствах свойств алгебраических структур и при вычислениях в программировании.

Распределительный закон позволяет также выполнять обратную операцию — группировку (факторизацию): сумму однотипных произведений можно вынести за скобки, например $ab+ac=a(b+c)$. Кроме того, аналогичные по сути правила действуют и в других алгебраических системах: скалярное умножение в векторных пространствах распределяется по сумме векторов, что записывается как $k(u+v)=ku+kv$. Важно помнить, что не все операции являются дистрибутивными: например деление не распределируется по сумме, то есть обычно верно неравенство $\displaystyle \frac{a}{b+c}\neq\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$. {IMAGE_1}