Законы степеней

Определение и основные понятия

Степень - это результат возведения числа или буквы, называемой основанием, в степень, задаваемую показателем. Общее обозначение степени записывают как $a^{n}$ , где $a^{n}$ означает: основание a возводят в натуральный показатель n.

Понять, что такое степень, помогает простая интерпретация: возведение в степень — это повторное умножение основания на само себя n раз (при натуральном показателе). Для примера, одна из частных задач — вычисление степени конкретного числа — показана ниже в разделе примеров.

Основание - это число или выражение, которое возводят в степень; Показатель - это число, которое показывает, сколько раз берётся произведение основания само на себя. В записи $a^{n}$ слово "основание" относится к a, а "показатель" — к n.

Свойства степеней с целыми показателями

Основные алгебраические законы степеней позволяют существенно упростить вычисления и преобразования: при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются, а при делении — вычитаются. Формально это записывают так: $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ и $\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}$ . Эти правила верны при любом основании a, отличном от нуля, и при произвольных целых показателях m и n.

Ещё одно полезное свойство — степень произведения и степень частного: степень распространяется на каждый множитель произведения и на числитель и знаменатель дроби: $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ и $\left(\dfrac{a}{b}\right)^{n}=\dfrac{a^{n}}{b^{n}}$ . Эти тождества часто используют при разложении выражений и в доказательствах алгебраических равенств.

Свойства степеней при возведении в степень

Если одно и то же основание возвести в степень, а затем результат снова возвести в степень, показатели перемножаются. Это правило формулируется так: $\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$ . Это следует понимать как повторение операции возведения в степень: сначала a возводят в m, затем результат возводят в n — в итоге показатель становится произведением m и n.

Аналогично, если у вас произведение разных множителей, возведённое в одну и ту же степень, то каждый множитель можно возвести в эту степень отдельно: $a^{m}b^{m}=(ab)^{m}$ . Это часто удобно при упрощении выражений перед вычислением или при разложении на множители.

Нулевой и отрицательные показатели

Особые значения показателя требуют отдельного внимания. Нулевой показатель даёт единицу (при ненулевом основании): $a^{0}=1$ . Это естественное продолжение правила деления степеней: если вы делите a^{m} на a^{m}, согласно правилу деления показателей получите $a^{0}=1$.

Нулевой показатель - показатель со значением ноль; применение этого правила требует, чтобы основание отличалось от нуля, иначе выражение $0^{0}$ не определено. Следует помнить, что запись $0^{0}$ не имеет математически согласованного значения в простейшей школьной алгебре и обычно считается неопределённой.

Отрицательный показатель переводит степень в обратную дробь: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$ . Это правило следует также из свойства деления степеней и позволяет вычислять дробные выражения с отрицательными показателями: например, $a^{-1}=\dfrac{1}{a}$ и числовой пример $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{-3}=2^{3}=8$ .

Дробные показатели и извлечение корней

Дробный показатель связывает понятия степени и корня: корень n-й степени от положительного числа a равен степени a с показателем $\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$ . Это даёт удобный способ работы с корнями через степень и обратно.

Более общая формула для рациональных показателей имеет вид: $a^{\frac{m}{n}}=\left(\sqrt[n]{a}\right)^{m}=\left(a^{m}\right)^{\frac{1}{n}}$ . Это выражение означает, что возведение в дробную степень эквивалентно сначала взятию корня, затем возведению в целую степень (или наоборот, в зависимости от удобства вычислений).

Пример: квадратный корень из девяти через дробную степень — это $9^{\frac{1}{2}}=3$ . Такая запись упрощает преобразования при работе с формулами и при решении уравнений, где встречаются корни.

Приёмы преобразования и распространённые ошибки

При работе со степенями важно внимательно относиться к знакам у основания. Если основание отрицательно, то при чётном показателе результат будет положительным, при нечётном — отрицательным. Примеры: $(-2)^{2}=4$ и $(-2)^{3}=-8$ иллюстрируют эту разницу на конкретном числе.

Распространённая ошибка — неверное применение закона для суммы степеней. Нельзя упростить сумму степеней как степерь суммы: выражение $a^{m}+a^{n}$ никак не равно $a^{m}+a^{n}\neq a^{m+n}$ в общем случае. Такое упрощение допустимо только в очень частных ситуациях и требует дополнительных условий.

Визуально основные свойства удобно запомнить и систематизировать на схеме, которую можно нарисовать в тетради и подписать ключевые тождества. Ниже можно поместить такую схему для наглядности: {IMAGE_0}

Подводя итог: законы степеней — это набор тождеств, позволяющих переходить между произведениями, дробями, композициями степеней, корнями и отрицательными показателями. Овладение этими правилами даёт возможность решать широкий круг алгебраических задач эффективно и без ошибок.