Нулевой показатель

Нулевой показатель — это показатель степени, равный нулю. В основе определения лежит согласование с законами степени: если взять одно и то же ненулевое основание и разделить его степень на ту же самую степень, то результат равен единице, а по закону вычитания показателей получается степень с нулевым показателем. Символически это записывают как $a^0 = 1$. Такое определение удобно и согласуется с остальными свойствами степеней и с понятием пустого произведения в алгебре.

Нулевой показатель широко используется при упрощении выражений, в свойствах степеней и при работе с отрицательными показателями через обратные степени. Связь с отрицательными показателями выражается тем, что возведение в отрицательную степень даёт обратную величину, что в свою очередь согласуется с тем, что при сложении показателей получается ноль: $a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}$. Вывод правила можно формально показать, рассматривая отношение одинаковых степеней: $\dfrac{a^m}{a^m} = a^{m-m}$, откуда следует, что степень с нулевым показателем равна единице. Однако для случая нулевого основания правило не применимо напрямую: выражение $0^0\text{ — не определено}$ обычно считают неопределённым в классическом анализе; в некоторых комбинаторных или алгебраических контекстах вручную задают удобную конвенцию, но это отдельный вопрос, требующий аккуратности.