Понятие и обозначение угла

Что такое угол

Угол - геометрическая фигура, образованная двумя лучами с общей начальной точкой (вершиной). В речи и записях угол часто обозначают сочетанием букв, буквой вершины или специальным символом.

Проще говоря, если из одной точки выходят два луча, то пространство между ними и называется углом. Лучи, образующие угол, можно рассматривать как стороны угла: например, лучи $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$ образуют угол, который традиционно записывают как $\angle AOB$ — три буквы, где средняя буква обозначает вершину.

Важно понимать, что угол — это не сама часть плоскости, а отношение направления двух лучей относительно общей вершины. При смене направления одного из лучей величина и положение угла меняются, а при совпадении направлений угол превращается в нулевой угол.

Элементы и обозначение угла

Вершина угла - общая начальная точка двух лучей, образующих угол.

Стороны угла (лучи) - направленные лучи, исходящие из вершины и задающие границы угла; например, стороны могут быть записаны как $\overrightarrow{OA}$ и $\overrightarrow{OB}$.

Обозначение угла бывает разным. Наиболее распространённое — трёхбуквенное обозначение: буквы, соответствующие точкам на сторонах и вершине; средняя буква указывает на вершину, например $\angle AOB$. Также иногда используют обозначение через одну букву возле вершины или специальный символ с индексом.

Виды углов по величине

Нулевой угол - угол, стороны которого совпадают; его принято обозначать как $\alpha = 0^\circ$ в смысле равенства величины нулю.

Прямой угол - угол, равный $90^\circ$. Этот угол визуально выглядит как «угол прямого квадрата» и часто отмечается маленьким квадратом в вершине.

Развернутый угол - угол, образованный противоположными лучами и равный $180^\circ$.

Существует также деление на острые, тупые и внушительные углы. Острый угол — угол, меньший прямого: $\alpha < 90^\circ$. Тупой угол — угол, больше прямого, но меньше развернутого: $90^\circ < \alpha < 180^\circ$. Рефлексный (или выпуклый) угол — угол, большая часть окружности, то есть значение угла между $180^\circ$ и $360^\circ$, формально это $180^\circ < \alpha < 360^\circ$.

Единицы измерения углов

Наиболее привычная для школьников единица — градус. Полный оборот вокруг точки соответствует $360^\circ$. Половина оборота — это $180^\circ$, а четверть оборота — $90^\circ$.

Другой распространённый способ измерения — радианы, связанный с длиной дуги и радиусом окружности. Важное соотношение между этими единицами задаётся формулой $\pi\ \mathrm{rad} = 180^\circ$, откуда следует, что один градус равен $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}\ \mathrm{rad}$.

Для выполнения задач важно уметь переводить из градусов в радианы и обратно: умение оперировать дробями и числом $\pi\ \mathrm{rad} = 180^\circ$ позволяет выполнять такие преобразования быстро и без ошибок.

Запись, порядок букв и свойства обозначений

При записи угла трёхбуквенное обозначение $\angle AOB$ подчёркивает, какая именно часть плоскости имеется в виду: меняя порядок букв, можно указать другой угол. Поэтому порядок букв важен: левая буква указывает точку на одной стороне, правая — на другой, средняя — вершина.

Мера угла - числовое значение, которое показывает, насколько один луч повернут относительно другого; мера угла удобно записывать как $m\angle AOB = \theta$, где справа стоит числовая величина (например, в градусах или радианах).

При изучении смежных углов и их свойств полезно помнить о линейной зависимости: если два угла смежны и дополняют друг друга до развернутого угла, то их суммы равны $180^\circ$. Для смежных углов часто используют соотношения наподобие $\angle AOB + \angle BOC = \angle AOC$, что облегчает расчёт и доказательства в геометрии.

Наглядность, рисунки и практические приёмы

Для закрепления понятия угла рекомендуются простые чертежи: отметьте вершину, проведите два луча, подпишите точки на лучах и запишите обозначение угла как $\angle AOB$. Визуальная работа помогает отличать острый, прямой, тупой и развернутый углы на глаз.

На чертеже полезно проставлять меру угла в градусах или радианах рядом с дугой, заключающей угол — здесь снова применяются те же обозначения, о которых шла речь ранее, и при этом любая числовая подпись, например $90^\circ$ или $180^\circ$, заменяется на соответствующее значение в нужной единице.

При подготовке к контрольным работам практикуйтесь в записи углов разными способами: трёхбуквенно, через вершину и через символ угла с индексом. Это поможет избежать ошибок при написании геометрических рассуждений и доказательств.

{IMAGE_0}