Мера угла

Мера угла — числовая характеристика величины угла, показывающая отношение поворота одной луча вокруг вершины к некоторому базисному отрезку или окружности. В основе определения в радианной системе лежит отношение длины дуги окружности, ограниченной углом, к радиусу этой окружности: значение меры совпадает с этим отношением. В прикладных и школьных задачах используются разные единицы измерения, и соотношение между ними удобно записать короткой формулой: $360^\circ = 2\pi\ \mathrm{rad} = 400\ \mathrm{grad}$.

Мера угла обладает важными свойствами: она аддитивна (мера суммы смежных углов равна сумме их мер), для ориентированных углов возможны положительные и отрицательные значения, а значения принимаются по модулю полного оборота. Для перевода градусов в радианы и обратно используют формулы преобразования; одно из стандартных соотношений записывается как $\varphi_{\mathrm{rad}}=\varphi_{\deg}\cdot\dfrac{\pi}{180}$, а связь с градусной системой сотых (градами) можно представить так: $1\ \mathrm{grad}=0.9^\circ=\dfrac{\pi}{200}\ \mathrm{rad}$. В определении радиана ключевое место занимает отношение дуги к радиусу: $\theta=\dfrac{s}{r}$. Из этого вытекают часто используемые в геометрии и физике выражения для длины дуги окружности и площади сектора: длина дуги даётся формулой $s=r\theta$, а площадь сектора — формулой $A=\tfrac{1}{2}r^{2}\theta$.

На практике мера угла применяется во множестве областей: тригонометрические и аналитические построения в математике, проектирование и черчение, астрономия и навигация, вычисления в физике и инженерии, компьютерная графика и робототехника. Важность радианной меры особенно заметна в анализе и дифференциальных вычислениях, где производные тригонометрических функций имеют простые формы только при измерении углов в радианах. Для измерений используют транспортиры, теодолиты и электронные сенсоры; в задачах часто требуется перевод между системами и применение формул для длины дуги и площади, приведённых выше.