Вершина угла

Вершина угла — это точка, в которой сходятся два луча или две полупрямые, образующие угол. Угол обычно обозначают тройкой букв: первая и третья буквы обозначают точки на лучах, а средняя буква обозначает вершину, например $\\angle ABC$. Вершина сама по себе не определяет величину угла, но является его ключевым элементом: через положение вершины и направления лучей задаётся геометрическая фигура, которую мы называем углом. На схемах вершину часто выделяют точкой, её можно пометить заглавной буквой или отметить маркером для удобства чтения чертежа. {IMAGE_0}

Практическое значение вершины угла проявляется во многих разделах школьной геометрии и прикладных задачах. Вершины углов важны при изучении многоугольников: каждую вершину полигона можно рассматривать как вершину внутреннего угла, сумма которых определяет форму фигуры. В аналитической геометрии направление лучей от вершины можно задавать векторами, и угол между ними вычисляют по формуле, связывающей косинус угла с скалярным произведением: $\\cos\\theta = \\dfrac{\\mathbf{u}\\cdot\\mathbf{v}}{\\|\\mathbf{u}\\|\\,\\|\\mathbf{v}\\|}$. Это позволяет находить меры углов по координатам точек и применять понятие вершины в задачах на векторы и преобразования. {IMAGE_1}

В классе важно уметь быстро распознавать вершину по обозначению: если записано $\\angle ABC$, то вершина — средняя буква. Величину угла можно назначать числом в градусах или радианах; например, запись {FORMULA_1} означает, что угол с вершиной в соответствующей точке равен шестидесяти градусам. Вершина может принадлежать плоскости, прямой или отрезку — контекст определяет, являются ли лучи концами отрезков или продолжаются бесконечно. Понимание роли вершины помогает при построении углов с помощью циркуля и линейки, при доказательстве теорем о смежных и вертикальных углах, а также при работе с треугольниками и другими геометрическими фигурами.