КонспектыМатематика

Умножение обыкновенных дробей

Умножение обыкновенных дробей

Понятие и обозначение обыкновенной дроби

Обыкновенная дробь — это способ записать часть от целого. В общем виде дробь записывают как дробь с числителем и знаменателем: ab\frac{a}{b}. Числитель показывает, сколько частей взято, а знаменатель — на сколько равных частей разделено целое.

Обыкновенная дробь - число, представляющее отношение двух целых чисел: числителя и знаменателя, записанных в виде ab\frac{a}{b}

Важно понимать, что дроби бывают правильные, неправильные и несократимые. Правильная дробь меньше единицы, неправильная — не меньше единицы. Несократимая дробь — дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих делителей, кроме единицы.

Несократимая дробь - дробь, у которой наибольший общий делитель числителя и знаменателя равен 1.

Правило умножения дробей

Умножение двух обыкновенных дробей выполняется по простому правилу: нужно перемножить числители и перемножить знаменатели. Формула правила записывается так: ab⋅cd=acbd\displaystyle\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.

Это правило следует из определения умножения как повторного сложения и из того, как дроби описывают отношение частей. После перемножения можно привести результат к несократимому виду, выполнив сокращение числителя и знаменателя на общий делитель.

Порядок множителей при умножении дробей не меняет результата (переместительное свойство). Поэтому удобнее сначала сокращать попарно те числители и знаменатели, у которых есть общий множитель, а затем умножать оставшиеся числа.

Простой пример: возьмём две дроби и перемножим их. Начальное выражение: 23⋅34\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}. Сокращая общий множитель 3 и упрощая, получаем: 21⋅14\displaystyle\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{4}. После умножения числителей и знаменателей получаем: 24\displaystyle\frac{2}{4}, что в несократимом виде равно 12\displaystyle\frac{1}{2}.

Сокращение перед умножением (кросс‑сокращение)

Перед непосредственным умножением часто выгодно сокращать дроби попарно: числитель одной дроби с знаменателем другой. Этот приём называется кросс‑сокращением. Формально, если g = gcd(a,d), то можно записать: где g=gcd⁡(a,d):ab⋅cd=a/gb⋅cd/g\text{где }g=\gcd(a,d):\quad\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}=\frac{a/g}{b}\cdot\frac{c}{d/g} и затем умножать полученные упрощённые дроби.

Кросс‑сокращение уменьшает промежуточные числа и делает вычисления проще, особенно на бумаге или в уме. Оно не меняет результата, так как производится деление на общий множитель.

При сокращении всегда проверяйте на общие простые множители: 2, 3, 5, 7 и т.д. Внимание: нельзя сокращать числитель и знаменатель одной и той же дроби по разным множителям, если это меняет число шагов — лучше сразу находить общий делитель.

Ещё один пример с кросс‑сокращением: нужно перемножить три дроби подряд. Возьмём выражение 21⋅11⋅14\displaystyle\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}\cdot\frac{1}{4}. Сначала сокращаем 3 с 3 и 5 с 5, получаем упрощённое выражение 24\displaystyle\frac{2}{4}. После перемножения получаем 12\displaystyle\frac{1}{2}, которое можно допростить до 3⋅23⋅56\displaystyle 3\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{6} и записать в виде смешанного числа 11⋅56\displaystyle\frac{1}{1}\cdot\frac{5}{6}.

Умножение смешанных чисел

Смешанное число содержит целую и дробную часть. Чтобы умножить смешанные числа, сначала их переводят в неправильные дроби (неприводимые к форме «целая часть + дробь»), затем умножают по общему правилу. Правило перевода смешанного числа в неправильную дробь выглядит так: npq=nq+pq\displaystyle n\frac{p}{q}=\frac{nq+p}{q}.

Смешанное число - число, состоящее из целой части и дробной части, которое перед умножением удобнее преобразовать в неправильную дробь по формуле npq=nq+pq\displaystyle n\frac{p}{q}=\frac{nq+p}{q}

Пример: смешанное число 123=53\displaystyle 1\frac{2}{3}=\frac{5}{3} при переводе в неправильную дробь равно 123=53\displaystyle 1\frac{2}{3}=\frac{5}{3} (см. формулу). Если умножить это число на дробь, применяем правило умножения дробей: сначала перевод, затем сокращение, затем перемножение числителей и знаменателей.

Конкретный пример: умножим 53⋅34\displaystyle\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{4}. Сокращая общий множитель, получаем 51⋅14\displaystyle\frac{5}{1}\cdot\frac{1}{4}. Перемножив числители и знаменатели, получаем 54\displaystyle\frac{5}{4}, что при желании можно представить как смешанное число 54=114\displaystyle\frac{5}{4}=1\frac{1}{4}.

Умножение дроби на целое число и свойства умножения

Умножение дроби на целое число сводится к умножению числителя на это число, а знаменатель остаётся тем же. Формально: ab⋅n=anb\displaystyle\frac{a}{b}\cdot n=\frac{an}{b}. Это следует непосредственно из того, что целое число можно рассматривать как дробь с знаменателем 1.

Например, умножение целого на дробь: 3⋅25\displaystyle 3\cdot\frac{2}{5}. Выполнив умножение, получаем 65\displaystyle\frac{6}{5}, что при необходимости преобразуется в смешанный вид 115\displaystyle 1\frac{1}{5}.

Также важно помнить свойства умножения: переместительное и сочетательное свойства сохраняются и для дробей. То есть порядок умножения не влияет на результат, и группировка множителей может быть изменена для удобства вычисления. Обозначим это как: (ab⋅cd)⋅ef=ab⋅(cd⋅ef)\displaystyle\left(\frac{a}{b}\cdot\frac{c}{d}\right)\cdot\frac{e}{f}=\frac{a}{b}\cdot\left(\frac{c}{d}\cdot\frac{e}{f}\right) и 23⋅35⋅54\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{4}.

Практические приёмы и типичные ошибки

Советы для удобства вычислений: всегда по возможности сокращайте перед умножением, раскладывайте большие числа на простые множители, используйте стертые дроби и проверяйте результат ориентировочно: если множители меньше единицы, результат должен быть меньше каждого множителя и т.д.

Частые ошибки: попытка сокращения двух числителей или двух знаменателей между собой (это неправильно), забывание перевода смешанного числа в неправильную дробь, или неверное приведение дроби к несократимому виду в конце.

Ещё один развернутый пример: перемножим дроби 23⋅34\displaystyle\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4} и 3⋅25\displaystyle 3\cdot\frac{2}{5} одновременно, то есть рассмотрим выражение 56\displaystyle\frac{5}{6}. Используя кросс‑сокращение (сократить 3 на 3 и 2 на 2), получаем упрощённый вид 56\displaystyle\frac{5}{6}. Перемножив, получаем результат {FORMULA_27}, который в окончательном виде равен {FORMULA_28}.

Заключение: умножение обыкновенных дробей — это последовательность действий: при необходимости перевод в неправильную дробь, кросс‑сокращение, перемножение числителей и знаменателей, и приведение результата к несократимому или смешанному виду. Практикуйтесь на примерах разной сложности, чтобы освоить все приёмы.