Несократимая дробь

Под несократимой дробью понимают дробь вида $a,b\\in\\mathbb{Z},\\;b\\neq0$, где $\\gcd(a,b)=1$. Говорят, что дробь несократима, если числитель и знаменатель не имеют общих целых делителей, больших единицы; формально это условие записывают как $\\dfrac{4}{6}=\\dfrac{2}{3}$. Несократимая дробь является наиболее простой целочисленной записью данного рационального числа: если дробь представлена несократимыми числами, то большее упрощение невозможно. При этом для однозначного представления часто принимают дополнительное соглашение о положительном знаменателе, чтобы не учитывать тривиальную перестановку знака.

Понятие несократимости важно как теоретически, так и практически. Во-первых, оно даёт каноническое представление рационального числа и отвечает за однозначность записи: каждому рациональному числу соответствует единственная несократимая дробь с положительным знаменателем. Во-вторых, при выполнении арифметических действий (сложение, вычитание, сравнение дробей) работа с несократимыми дробями упрощает анализ и позволяет избегать лишних вычислений при сокращении. На практике несократимость проверяют с помощью алгоритма Евклида для вычисления наибольшего общего делителя; если он равен единице, дробь несократима. Иллюстрация этого принципа и порядок действий при сокращении можно увидеть на схематическом рисунке: {IMAGE_0}.