КонспектыМатематика

Луч (полупрямая)

Луч (полупрямая)

Понятие луча и основные обозначения

Луч - геометрическое множество точек, состоящее из начальной точки и всех точек, лежащих на заданной прямой по одну сторону от этой начальной точки.

В школьной геометрии луч часто рассматривают как «половину прямой»: у прямой есть направление, но у луча обязательно имеется начальная точка — начало луча. Начальную точку называют началом луча, а направление может задаваться любой другой точкой, отличной от начала.

Обозначения могут быть разные: в традиционной записи используют стрелку над двумя буквами, где первая буква — начало, вторая — точка, задающая направление. В аналитической геометрии удобнее задавать луч вектором направления и координатой начала.

Параметрическое представление луча

Для точного описания луча в векторной форме используют параметрическое уравнение. Если заданы вектор начала \(\vec{a}\) и ненулевой направляющий вектор \(\vec{u}\), то множество точек луча можно записать как r⃗(t)=a⃗+tu⃗, t≥0\vec{r}(t)=\vec{a}+t\vec{u},\ t\ge 0.

В этом представлении параметр \(t\) пробегает все неотрицательные значения, которые дают точки на луче, включая начало при \(t=0\). Такое описание удобно для вычислений, для доказательства принадлежности точки лучу и для проверки пересечения с другими объектами.

При необходимости направляющий вектор можно нормировать, получая единичный вектор направления u^=u⃗∥u⃗∥\hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}. Нормализация упрощает вычисление углов и проекций, она не меняет геометрического множества точек луча, а только удобна в расчетах.

{IMAGE_0}

Примеры параметрического задания

Пусть начало луча в точке с координатами и вектор направления равен a⃗=(0,0), u⃗=(1,2)\vec{a}=(0,0),\ \vec{u}=(1,2). Тогда параметры описывают все точки по формуле r⃗(t)=a⃗+tu⃗, t≥0\vec{r}(t)=\vec{a}+t\vec{u},\ t\ge 0. При подстановке \(t=3\) получаем конкретную точку на луче: r⃗(3)=a⃗+3u⃗=(3,6)\vec{r}(3)=\vec{a}+3\vec{u}=(3,6).

Такой подход позволяет легко проверить принадлежность точки лучу: достаточно найти параметр \(t\) из уравнения и убедиться, что он неотрицателен. Если найденное значение параметра отрицательно, точка лежит на продолжении прямой, но не на данном луче.

Свойства луча

Луч полностью определяется парой: начальной точкой и направляющим вектором. Изменение масштаба направляющего вектора не меняет луч: любой ненулевой кратный вектора задаёт тот же геометрический объект. Направление вектора важно: противоположный вектор задаёт луч в другую сторону.

Пересечение двух лучей можно свести к решению системы векторных уравнений вида a⃗+tu⃗=b⃗+sv⃗, t≥0, s≥0\vec{a}+t\vec{u}=\vec{b}+s\vec{v},\ t\ge 0,\ s\ge 0. Решая такую систему, нужно дополнительно контролировать неотрицательность параметров, чтобы найденная точка действительно лежала на обоих лучах.

Для нахождения проекции произвольного вектора \(\vec{w}\) на направляющий вектор луча используют формулу проекции, полезную при задачи на расстояния и ближайшие точки: proj⁡u⃗w⃗=(w⃗⋅u⃗∥u⃗∥2)u⃗\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{w}=\left(\dfrac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\right)\vec{u}. В контексте луча бывает важно проецировать вектор от начала луча к точке на сам луч, чтобы найти расстояние от точки до луча и координату ближайшей точки.

Угол между лучами

Угол между двумя лучами — это угол между их направляющими векторами. Если заданы ненулевые направляющие векторы \(\vec{u}\) и \(\vec{v}\), то косинус угла между ними вычисляется по формуле cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∥u⃗∥ ∥v⃗∥\cos\theta=\dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}. По знаку и значению косинуса можно судить об остроугольности, прямом или тупом угле.

Важно помнить: угол между геометрическими лучами рассматривается как наименьший угол между направлениями векторами (то есть значение \(\theta\) берут в пределах от 0 до \(\pi\)). В некоторых задачах ориентированное направление важно, и тогда учитывают знак скалярного произведения и направление поворота.

Рассмотрим численный пример: для векторов \(\vec{u}=(1,2)\) и \(\vec{v}=(2,-1)\) косинус угла равен значению, показанному в расчёте cos⁡θ=1⋅2+2⋅(−1)12+2222+(−1)2=055=0\cos\theta=\dfrac{1\cdot 2+2\cdot(-1)}{\sqrt{1^{2}+2^{2}}\sqrt{2^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{0}{\sqrt{5}\sqrt{5}}=0. Из полученного значения видно, что угловая мера соответствует прямому или другому простому случаю.

Луч на числовой прямой и отрезки

На числовой прямой лучи имеют простой аналитический вид: множество точек с координатой, удовлетворяющей неравенству вида x≥2x\ge 2. Такие лучи называют полуосью, они начинаются в заданной точке и простираются в одну сторону до бесконечности.

Отношение луча и отрезка: отрезок — это часть прямой, ограниченная с двух сторон; луч ограничен только с одной стороны. Иногда задачи требуют разбиения отрезка на лучи или объединения луча с отрезком, что удобно формализовать через параметры.

Построение луча и практические рекомендации

При черчении луча важно чётко обозначить начало и направление. На бумаге начальная точка помечается, а дальше проводят от неё прямую линию и ставят стрелку, показывающую направление. В аналитике чаще задают начало и направляющий вектор — это даёт исчерпывающую информацию о луче.

При решении задач: чтобы проверить принадлежит ли точка лучу, составьте вектор от начала к этой точке и проверьте, является ли он ненулевым кратным направляющего вектора с неотрицательным множителем (то есть проверьте существование \(t\ge 0\) в параметрическом представлении r⃗(t)=a⃗+tu⃗, t≥0\vec{r}(t)=\vec{a}+t\vec{u},\ t\ge 0).

Примеры задач и типичные ошибки

Типичная задача: найти пересечение двух лучей. Подставляя параметические уравнения, вы получите систему вида a⃗+tu⃗=b⃗+sv⃗, t≥0, s≥0\vec{a}+t\vec{u}=\vec{b}+s\vec{v},\ t\ge 0,\ s\ge 0; решение даёт потенциальную точку пересечения, но необходимо проверить неотрицательность параметров. Частая ошибка — забыть про условие \(t\ge 0\) и считать решение принадлежностью лучам, хотя найденная точка может лежать на продолжении прямой.

Другой пример: вычисление расстояния от точки до луча. Для этого удобно найти проекцию вектора от начала луча к точке на направляющий вектор, используя формулу проекции proj⁡u⃗w⃗=(w⃗⋅u⃗∥u⃗∥2)u⃗\operatorname{proj}_{\vec{u}}\vec{w}=\left(\dfrac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{\|\vec{u}\|^{2}}\right)\vec{u}. Если проекция соответствует параметру \(t\ge 0\), ближайшая точка находится на самом луче; иначе ближайшая точка — начало луча.

{IMAGE_1}

Замечания для дальнейшего изучения

Луч — базовый объект как в планиметрии, так и в аналитической геометрии. При изучении пространственной геометрии понятие луча расширяется на трёхмерное пространство, где направление задают пространственным вектором, а методы анализа остаются теми же.

Освоение параметрического представления луча и умение работать с векторными уравнениями значительно упрощают решение геометрических задач на пересечение, расстояние и углы. Практикуйтесь на различных примерах: лучи на плоскости, лучи векторные и лучи на числовой прямой.