Длина и измерение отрезков

Основные понятия

Отрезок - часть прямой, ограниченная двумя точками; длину отрезка называют расстоянием между этими точками.

Длина отрезка - числовая величина, характеризующая размер отрезка; на координатной прямой длину отрезка AB вычисляют как $l_{AB} = |x_B - x_A|$.

Отрезки совпадающие по длине называют равными или конгруэнтными; равенство длин обозначают формулой $l_{AB}=l_{CD}$. С точки зрения геометрии, длина — неотрицательное число, поэтому для любых двух точек A и B справедливо выражение с модулем представления разности координат.

На координатной прямой задача определения длины отрезка сводится к вычитанию координат точек; на рисунке ниже показан пример с числовыми координатами {IMAGE_0}.

Единицы измерения и перевод

Единица длины - стандартная величина, с помощью которой измеряют длины; в школьной практике используются миллиметр, сантиметр, метр, километр и их производные.

Типичные соотношения между единицами приводят к удобным формулам: например, $1\text{см}=10\text{мм}$ и $1\text{км}=1000\text{м}$. Часто требуется переводить дробные значения, например $2.35\text{м}=235\text{см}$ показывает перевод метров в сантиметры.

При практических измерениях важно уметь переводить в меньшие или большие единицы и следить за точностью. Так, $300\ \text{мм}=0.3\ \text{м}$ демонстрирует перевод миллиметров в метры для конкретного числового примера.

Инструменты и приёмы измерения

Линейка - простой инструмент для измерения длины, имеющий шкалу с делениями; основная методика — навести нулевую метку на начало отрезка и считывать позицию конца отрезка.

Реальность измерения связана с ограничением точности шкалы. Результат обычно записывают в виде $12.3\pm0.1\ \text{см}$, где погрешность отражает невозможность прочитать значение лучше определённого шага шкалы. Враченные инструменты, такие как штангенциркуль, имеют иную погрешность и технику считывания.

Оценку неопределённости часто приближённо берут как половину наименьшего деления шкалы: $u=\dfrac{\text{шаг деления}}{2}$. Это правило даёт практическую оценку абсолютной погрешности при простых измерениях без учёта систематических факторов.

Сравнение и операции над отрезками

Если точка C лежит между A и B, то длина всего отрезка равна сумме длин частей: $l_{AB}=l_{AC}+l_{CB}$. Это свойство аддитивности длины часто используется при решении задач на разбиение отрезка и при построениях.

При подобии фигур или масштабировании отрезки изменяют свои длины по общему множителю: если отрезок AB преобразуется в A''B'' с масштабом k, то $l_{A''B''}=k\cdot l_{AB}$. Разность длин обозначают как $l_{AB}-l_{CD}=\Delta l$.

Середина отрезка - точка, делящая отрезок на две равные части; для середины M отрезка AB выполняется $l_{AM}=l_{MB}$, а координата середины на оси определяется формулой $x_M = \dfrac{x_A + x_B}{2}$.

Сравнение длин часто сводится к неравенствам. В треугольнике сумма длин двух сторон больше длины третьей, что формулируется как $l_{AB}+l_{BC}>l_{AC}$ и является геометрическим ограничением на возможные значения длин.

Погрешности и статистическая обработка

Абсолютная погрешность - разность между измеренным и истинным значением по модулю: $|\Delta|=|x_{\text{изм}}-x_{\text{ист}}|$.

Относительная погрешность - отношение абсолютной погрешности к истинному значению: $\delta=\dfrac{|\Delta|}{x_{\text{ист}}}$, часто выражается в процентах как $\delta\%=\delta\cdot100\%$.

Если измерение повторяют n раз, полезно вычислить среднее значение измерений и оценить разброс. Средняя арифметическая для серии измерений определяется формулой $\bar{x}=\dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$, а характер разброса — с помощью стандартного отклонения $s=\sqrt{\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$.

Примеры и задачи

Ниже приведены типичные примеры, иллюстрирующие применение определений и формул на практике.