Середина отрезка

Середина отрезка — это точка, находящаяся на самом отрезке и делящая его на две части одинаковой длины. Иначе можно сказать, что середина — это такая точка, расстояния от которой до концов отрезка равны. Середина обладает ключевыми свойствами в планиметрии: она лежит на прямой, соединяющей концы отрезка, и делит исходный отрезок в отношении 1:1. Геометрически середина часто используется при построениях, доказательствах симметрии и при изучении осей симметрии фигур.

В практических задачах понятие середины помогает упростить вычисления и формулировки. В евклидовой геометрии середина служит опорой для определения медиан треугольника, биссектрис и центров прямоугольников. С помощью простой конструкции циркулем и линейкой середину можно получить как пересечение двух дуг, построенных с одинаковыми радиусами от концов отрезка. В аналитической геометрии координаты середины выражаются через координаты концов отрезка по формуле $M\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\;\dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$, а в векторной записи положение середины определяется через усреднение векторных координат $\mathbf{m}=\dfrac{\mathbf{a}+\mathbf{b}}{2}$.

Знание определения и свойств середины отрезка облегчает решение задач на деление отрезков, нахождение центров масс простых систем точек и доказательство равенств, связанных с симметрией. В одномерном случае правило для середины отрезка на числовой прямой сводится к простой операции усреднения концов: $m=\dfrac{a+b}{2}$. Эти простые формулы делают середину удобным инструментом как в геометрических построениях, так и в алгебраических выводах.