Длина отрезка

Длина отрезка — это численная мера расстояния между двумя его концами. В планиметрии отрезок определяется двумя точками, обычно называемыми A и B, а длина записывается как |AB|. В простейшем случае на числовой прямой длина отрезка с концами в точках с абсциссами x_A и x_B равна модулю разности их координат: $|AB|=|x_B-x_A|$. Это формальное определение позволяет однозначно измерять отрезки и сопоставлять им реальные единицы длины (миллиметры, сантиметры, метры и т.д.).

В декартовой системе координат на плоскости длина отрезка между точками A(x_A, y_A) и B(x_B, y_B) вычисляется по теореме Пифагора и даёт формулу для евклидовой метрики: $|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$. Для трёхмерного пространства обобщение выглядит следующим образом: $|AB|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$. Важные свойства длины отрезка: она всегда неотрицательна и равна нулю тогда и только тогда, когда оба конца совпадают, что записывается формулой $|AB|\ge 0,\quad |AB|=0\iff A=B$. Эти свойства лежат в основе понятий расстояния и метрического пространства в школьном курсе.