Подстановка и изменение переменных

Общая идея подстановки

Подстановка - приём, при котором в выражении одна переменная заменяется другой функцией так, чтобы упростить вычисления или привести задачу к известному виду.

Главная мысль подстановки — выделить часть выражения, которую удобнее рассматривать как независимую переменную. Обычно это записывают как $u = g(x)$ , где $u = g(x)$ обозначает новую переменную, выраженную через исходную.

Подстановка полезна в разных разделах математики: в дифференцировании, интегрировании, при решении уравнений и вычислении кратных интегралов. Правильный выбор замены существенно упрощает вычисления и уменьшает количество алгебраических преобразований.

Подстановка в дифференцировании (цепное правило)

Цепное правило - правило дифференцирования сложной функции, которое связывает производную внешней функции с производной внутренней.

Если функция зависит от промежуточной переменной, то для нахождения производной используется связь вида $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Это формула позволяет «разложить» производную сложной функции на произведение производных.

Рассмотрим явный пример. Пусть $u = x^2$ и $y = \sin u$ . Тогда по цепному правилу найдем производную функции по исходной переменной, используя последовательность дифференцирований относительно новой переменной и затем относительной исходной.

Пример: пусть $u = x^2$ и $y = \sin u$ . Тогда сначала вычисляем $\displaystyle \frac{dy}{du} = \cos u$ и $\displaystyle \frac{du}{dx} = 2x$ , а затем подставляем в $\displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ , что даёт $\displaystyle \frac{dy}{dx} = 2x\cos(x^2)$ .

Подстановка в интегрировании

Прямая замена переменной в интеграле - метод, позволяющий свести интеграл от сложной композиции к более простому интегралу через замену переменной.

В неопределённых интегралах часто применяется общеизвестная формула замены: $\displaystyle \int f(g(x))\,g''(x)\,dx = \int f(u)\,du$ . Идея та же, что и для дифференцирования: выделяется внутренняя функция и меняется переменная интегрирования.

Пример типичной универсальной подстановки: если интеграл содержит композицию вида внешняя_функция(внутренняя_функция) умноженную на производную внутренней функции, то сразу делается замена. Это упрощает вычисление и даёт более прямой путь к ответу.

Рассмотрим интеграл $\displaystyle \int 2x\cos(x^2)\,dx$ . Положим $u = x^2$ . Тогда $du = 2x\,dx$ и интеграл превращается в $\displaystyle \int \cos u\,du = \sin u + C$ . В результате получаем $\sin(x^2)+C$ .

Для определённых интегралов при замене переменной важно также пересчитать пределы интегрирования. Если изначально интеграл имеет пределы от a до b, то после замены они преобразуются в значения новой переменной при исходных границах, что формулируется как $\displaystyle \int_{a}^{b} f(g(x))\,g''(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$ .

Замена переменных в кратных интегралах

Изменение переменных - операция приведения интеграла по одной системе координат к интегралу по другой с учётом масштабного множителя, зависящего от отображения переменных.

В многомерных интегралах при замене переменных появляется поправочный множитель — модуль якобиана отображения. Общая формула для двух переменных выглядит как $\displaystyle \iint_{D} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D''} f(x(u,v),y(u,v))\,|J|\,du\,dv$ .

Якобиан представляет собой детерминант матрицы частных производных перехода между переменными. Для двух переменных его выражение даётся формулой $\displaystyle J=\det\begin{pmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v} \\\\ [4pt]\dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}$ и отражает, как масштабируются площади при переходе к новым координатам.

Часто удобной заменой для плоской области является переход к полярным координатам. Связь между координатами записывается как $x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta$ . Для этой замены якобиан равен $J=r$ , поэтому элемент площади преобразуется как $dx\,dy = r\,dr\,d\theta$ .

Это особенно удобно при вычислении площадей и интегралов по круговым областям: например, площадь единичного круга получается при интегрировании по полярным координатам и равна результату преобразования $\displaystyle \iint_{D} dx\,dy=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta$ , где последовательно вычисляются выражения $\displaystyle \int_{0}^{1} r\,dr=\tfrac{1}{2}$ и $\displaystyle \int_{0}^{2\pi}\tfrac{1}{2}\,d\theta=\pi$ .

Подстановки в дифференциальных уравнениях и частные техники

В решении некоторых типов дифференциальных уравнений подстановка помогает привести уравнение к разделяющемуся или линейному виду. Классический пример — однородные уравнения первого порядка, где удобно положить $y=vx$ и получить выражение для производной вида $\displaystyle \frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$ .

Замены также используются для упрощения алгебраических выражений: при параллельном смещении по оси часто вводят новую переменную сдвига, например $t=x-a$ , что позволяет избавиться от линейного члена и упростить дальнейшие преобразования.

Пример применения: при решении уравнения, где встречается комбинация (x-a) полезно ввести переменную $t=x-a$ , тем самым упростив выражение и сделав последующие интегрирования или дифференцирования более прямыми.

Итак, подстановка и изменение переменных — универсальные инструменты, которые по-разному проявляют себя в анализе функций, интегрировании и работе с дифференциальными уравнениями. Грамотный выбор замены часто сокращает вычисления и открывает путь к применению известных методов.

Основные

Курсы

Другое