КонспектыМатематика

Изменение переменных

Изменение переменных

Изменение переменных — это математическая операция, в которой одни переменные заменяются другими с помощью отображения или подстановки. В классическом одномерном случае это выражается через формулу вида x=φ(t)x=\varphi(t) и соответствующее дифференцирование dx=φ′(t) dtdx=\varphi''(t)\,dt. Такая подстановка позволяет упростить вид выражения, привести интеграл или дифференциальное уравнение к удобной форме и использовать известные приёмы интегрирования или взятия производной.

На практике изменение переменных широко применяется: при вычислении неопределённых и определённых интегралов, при решении дифференциальных уравнений, при оценках и при переходе к удобным системам координат для многомерных задач. Например, при замене переменных в интеграле используют правило замены ∫f(x) dx=∫f(φ(t)) φ′(t) dt\displaystyle\int f(x)\,dx=\displaystyle\int f\big(\varphi(t)\big)\,\varphi''(t)\,dt. В многомерном случае преобразование задаётся отображением вида x=x(u,v),  y=y(u,v)x=x(u,v),\;y=y(u,v) и требует учёта якобиана перехода; элемент площади или объёма преобразуется по правилу dx dy=∣J(u,v)∣ du dvdx\,dy=|J(u,v)|\,du\,dv. Хороший выбор замены сокращает вычисления и даёт геометрический смысл преобразования через сжатие или растяжение областей.

Ниже приведены простые примеры, иллюстрирующие идеи изменения переменных.

Пример 1. Подстановка для одного интеграла. Рассмотрим интеграл ∫1−x2 dx,x=sin⁡t⇒∫1−sin⁡2t cos⁡t dt=∫cos⁡2t dt\displaystyle\int\sqrt{1-x^2}\,dx,\quad x=\sin t\Rightarrow \displaystyle\int\sqrt{1-\sin^2 t}\,\cos t\,dt=\displaystyle\int\cos^2 t\,dt. Подстановка x=φ(t)x=\varphi(t) с выбором x=φ(t)x=\varphi(t) = \sin t (см. замену в формулах выше) превращает подкоренное выражение в косинус, и интеграл сводится к более простому виду, который легко берётся стандартными методами.

Пример 2. Полярные координаты. Для интегралов по области на плоскости удобно перейти к полярным координатам x=rcos⁡θ,  y=rsin⁡θ,  ∣J∣=rx=r\cos\theta,\;y=r\sin\theta,\;|J|=r. При этом элемент площади получает множитель r, что отражается в якобиане преобразования и упрощает интегрирование областей, симметричных относительно начала координат. {IMAGE_0}