Прямая замена переменной в интеграле

Прямая замена переменной — это приём вычисления интегралов, при котором одну переменную заменяют другой для упрощения подынтегрального выражения. Суть метода в том, что в интеграле выделяют вложенную функцию и вводят новую переменную по правилу $u = g(x)$, после чего дифференцируют это соотношение и получают соотношение для дифференциалов $du = g''(x) dx$. В результате интеграл, содержащий композицию функций и множитель, равный производной внутренней функции, сводится к более простому интегралу по новой переменной: $\int f(g(x))\,g''(x)\,dx = \int f(u)\,du$. Этот приём является одной из основных техник при вычислении неопределённых и определённых интегралов.

На практике прямая замена применяется, когда подынтегральное выражение имеет вид композиции функций, а рядом присутствует множитель, близкий к производной внутренней функции. Для определённых интегралов при замене переменной также меняются пределы интегрирования: если интегрирование по x идёт от a до b, то по новой переменной u пределы становятся $\int_{a}^{b} f(g(x))\,g''(x)\,dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\,du$. Важно помнить, что прямая замена упрощает вычисления, но требует аккуратности при обратной подстановке: после вычисления интеграла по u нужно вернуться к исходной переменной x, подставив u=g(x). Чаще всего алгоритм включает четыре шага: выбрать u как функцию от x, выразить du, заменить dx и выражение под интегралом, вычислить интеграл по u, затем вернуть исходную переменную.