Цепное правило

Цепное правило — это основной приём дифференцирования, который описывает, как находить производную композиции двух (или более) функций. Иначе говоря, если одна функция подставлена в другую, то производная всей композиции равна произведению производной внешней функции, вычисленной в внутренней, на производную внутренней функции. Формально это записывается как $(f(g(x)))'' = f''(g(x))\cdot g''(x)$. {IMAGE_0}

На практике цепное правило применяется при работе с возведением в степень, экспонентой, тригонометрическими и многими другими составными выражениями. Для более длинных составных функций правило обобщается: при композиции трёх функций нужно последовательно умножать производные каждой из них, как в формуле $(f\circ g\circ h)''(x) = f''(g(h(x)))\cdot g''(h(x))\cdot h''(x)$. Важное условие применения — дифференцируемость участвующих функций: обе (внешняя и внутренняя) должны иметь производные в соответствующих точках.

Алгоритм применения цепного правила для школьных задач обычно состоит из трёх шагов: 1) выделить внешнюю и внутреннюю функции; 2) найти производную внешней функции по её аргументу; 3) умножить результат на производную внутренней функции по x. Частые ошибки — забыть умножить на производную внутренней функции или неверно определить, какая из функций внешняя. Цепное правило часто комбинируется с правилом произведения и частного при более сложных выражениях.