ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Үшбұрыштар» — жауаптарымен

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $9\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника:$$a = R\sqrt{3}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{12\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 12$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $11\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим известное значение радиуса и решим уравнение относительно стороны:$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $5\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение радиуса и найдём длину стороны:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \cdot 5\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 30$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $6\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности равен одной трети высоты, поэтому $R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$.$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны через радиус и подставим известное значение.$$a = R\sqrt{3} = 6\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 18$$

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Радиус вписанной окружности равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$r = \dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{30}{6} = 5$$

Сторона треугольника по радиусу

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $73^\circ$ и $77^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $9$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 73^\circ - 77^\circ = 30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $BC$, противолежащая углу $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$BC = 2R\sin A$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $18\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$r = \dfrac{18\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{18\cdot 3}{6} = 9$$

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $8\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Радиус описанной окружности около равностороннего треугольника вычисляется по формуле:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим длину стороны треугольника:$$R = \dfrac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 7$, $BC = 24$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Так как угол $C$ равен $90^\circ$, сторона $AB$ является гипотенузой.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}$$
2. 2
   Найдём длину гипотенузы:$$AB = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $4\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности связан со стороной формулой$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим известное значение радиуса и найдём сторону треугольника:$$4\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим сторону треугольника и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 6$$

Радиус описанной окружности

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 16$, $BC = 12$, угол $C$ равен $90^\circ$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.

1. 1
   Треугольник $ABC$ прямоугольный, так как угол $C$ равен $90^\circ$. Найдём его гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора.$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{16^2 + 12^2} = \sqrt{400} = 20$$
2. 2
   В прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.$$R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $7\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности выражается через сторону формулой:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}r$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона по радиусу окружности

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $67^\circ$ и $83^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $16$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-67^\circ-83^\circ=30^\circ$$
2. 2
   По теореме синусов сторона $BC$, противолежащая углу $A$, выражается через радиус описанной окружности:$$BC=2R\sin A$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона треугольника по радиусу

Углы $B$ и $C$ треугольника $ABC$ равны соответственно $72^\circ$ и $78^\circ$. Найдите $BC$, если радиус окружности, описанной около треугольника $ABC$, равен $17$.

1. 1
   Найдём третий угол треугольника:$$A=180^\circ-B-C=180^\circ-72^\circ-78^\circ=30^\circ$$
2. 2
   Сторона $BC$ лежит напротив угла $A$. По теореме синусов отношение стороны к синусу противолежащего угла равно диаметру описанной окружности:$$\frac{BC}{\sin A}=2R$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $2\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Используем формулу радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Выразим длину стороны треугольника:$$a = \dfrac{6r}{\sqrt{3}}$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Радиус описанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $16\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Подставим значение стороны треугольника:$$R = \dfrac{16\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 16$$

Сторона равностороннего треугольника

Радиус окружности, описанной около равностороннего треугольника, равен $10\sqrt{3}$. Найдите длину стороны этого треугольника.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус описанной окружности выражается через сторону формулой:$$R = \dfrac{a}{\sqrt{3}}$$
2. 2
   Выразим длину стороны и подставим значение радиуса:$$a = R\sqrt{3} = 10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 30$$

Радиус вписанной окружности

Сторона равностороннего треугольника равна $4\sqrt{3}$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

1. 1
   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности вычисляется по формуле:$$r = \dfrac{a\sqrt{3}}{6}$$
2. 2
   Подставим длину стороны $a = 4\sqrt{3}$:$$r = \dfrac{4\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{6} = \dfrac{12}{6} = 2$$