ФИПИ тапсырмаларының шешімдері ОГЭ по математика: «Четырёхугольники и многоугольники» — жауаптарымен

Диагональ квадрата

Сторона квадрата равна $9\sqrt{2}$. Найдите диагональ этого квадрата.

1. 1
   Диагональ квадрата равна произведению его стороны на $\sqrt{2}$.$$d = a\sqrt{2}$$
2. 2
   Подставим длину стороны и упростим выражение.$$d = 9\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 9\cdot 2 = 18$$

Угол в равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции $ABCD$ угол $D$ равен $64^\circ$. Найдите градусную меру угла $ACD$, если луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при основании $AD$ равны.$$\angle BAD = \angle ADC = 64^\circ$$
2. 2
   Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$, поэтому угол $CAD$ равен половине угла $BAD$.$$\angle CAD = \dfrac{64^\circ}{2} = 32^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол в ромбе

В ромбе $ABCD$ угол $ABC$ равен $146^\circ$. Найдите угол $ACD$. Жауап дайте в градусах.

1. 1
   В ромбе противоположные углы равны, а соседние углы supplementary.$$\angle DAB=180^\circ-\angle ABC=180^\circ-146^\circ=34^\circ$$
2. 2
   Диагональ ромба $AC$ делит углы $A$ и $C$ пополам.$$\angle ACD=\dfrac{\angle DAB}{2}=\dfrac{34^\circ}{2}=17^\circ$$

Отрезки средней желілер трапеции

Основания трапеции равны 3 и 11. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

1. 1
   Найдём длину средней желілер трапеции как полусумму оснований.$$m = \dfrac{3+11}{2} = 7$$
2. 2
   Диагональ делит среднюю линию на два отрезка, длины которых равны половинам оснований трапеции.$$l_1 = \dfrac{3}{2} = 1{,}5, \quad l_2 = \dfrac{11}{2} = 5{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Меньшее основание трапеции

В равнобедренной трапеции известны высота $5$, большее основание $14$ и угол при основании $45^\circ$ (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Получатся два равных прямоугольных треугольника, в каждом из которых высота равна $5$, а угол при большем основании равен $45^\circ$.
2. 2
   Найдём горизонтальную проекцию каждой боковой стороны:$$x = \frac{5}{\tan 45^\circ} = 5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Площадь ромба по углу

Периметр ромба равен 56, а один из углов равен $30^\circ$. Найдите площадь этого ромба.

1. 1
   У ромба төрт равные стороны, поэтому найдём длину его стороны:$$a = \frac{56}{4} = 14$$
2. 2
   Площадь ромба равна произведению квадрата стороны на синус угла между сторонами:$$S = a^2\sin 30^\circ = 14^2 \cdot \frac{1}{2} = 98$$

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $44^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагонали прямоугольника симметричны относительно его сторон. Поэтому острый угол между диагоналями в два раза больше угла, который диагональ образует со стороной.$$\alpha = 2 \cdot 44^\circ$$
2. 2
   Вычисляем значение угла между диагоналями.$$\alpha = 88^\circ$$

Меньший угол ромба

Один из углов ромба равен $99^\circ$. Найдите меньший угол этого ромба.

1. 1
   Соседние углы ромба являются дополнительными.$$\alpha + 99^\circ = 180^\circ$$
2. 2
   Находим меньший угол ромба.$$\alpha = 180^\circ - 99^\circ = 81^\circ$$

Угол диагонали трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $76^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 76^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $21^\circ$, то есть делит угол $A$ на два угла: $21^\circ$ и угол между диагональю и основанием $AD$.$$\angle CAD = 76^\circ - 21^\circ = 55^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $126^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседний с углом $126^\circ$ угол ромба является острым:$$\alpha=180^\circ-126^\circ=54^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между диагональю и стороной равен:$$\frac{\alpha}{2}=\frac{54^\circ}{2}=27^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Диагональ прямоугольника

Диагонали $AC$ и $BD$ прямоугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. $BO = 15$, $AB = 14$. Найдите $AC$.

1. 1
   Диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, поэтому $BO$ — половина диагонали $BD$.$$BD = 2BO$$
2. 2
   Вычислим длину диагонали $BD$.$$BD = 2 \cdot 15 = 30$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Высота равнобедренной трапеции

Диагональ равнобедренной трапеции образует с её основанием угол $45^\circ$. Найдите высоту трапеции, если её основания равны $3$ и $10$.

1. 1
   Опустим высоты из концов меньшего основания. Из-за равенства боковых сторон равнобедренной трапеции отрезки у большего основания равны.$$x=\dfrac{10-3}{2}=3{,}5$$
2. 2
   Горизонтальная проекция диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего равна сумме меньшего основания и одного из крайних отрезков.$$d_x=3+3{,}5=6{,}5$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между диагоналями

Диагональ прямоугольника образует угол $70^\circ$ с одной из его сторон. Найдите острый угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Стороны прямоугольника перпендикулярны, поэтому угол между диагональю и другой стороной равен$$90^\circ - 70^\circ = 20^\circ$$
2. 2
   Диагонали симметричны относительно сторон прямоугольника, поэтому острый угол между ними в два раза больше найденного угла.$$2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$$

Угол между высотой и диагональю

Один из углов ромба равен $130^\circ$. Сколько градусов составляет угол между высотой и большей диагональю ромба?

1. 1
   Соседний с углом $130^\circ$ угол ромба является острым:$$\alpha=180^\circ-130^\circ=50^\circ$$
2. 2
   Большая диагональ ромба делит острый угол пополам, поэтому угол между большей диагональю и стороной равен:$$\frac{50^\circ}{2}=25^\circ$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол параллелограмма по биссектрисе

Найдите острый угол параллелограмма $ABCD$, если биссектриса угла $A$ образует со стороной $BC$ угол, равный $34^\circ$. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   В параллелограмме $AD \parallel BC$, поэтому угол между биссектрисой угла $A$ и стороной $AD$ равен $34^\circ$.$$\angle DAB : 2 = 34^\circ$$
2. 2
   Биссектриса делит угол $A$ пополам, значит острый угол параллелограмма равен:$$\angle A = 2 \cdot 34^\circ = 68^\circ$$

Угол параллелограмма

Диагональ $BD$ параллелограмма $ABCD$ образует с его сторонами углы, равные $60°$ и $55°$. Найдите меньший угол этого параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

1. 1
   Диагональ $BD$ делит угол $B$ на два угла: $60°$ и $55°$.$$\angle B = 60° + 55° = 115°$$
2. 2
   Соседний с ним угол параллелограмма является меньшим, так как сумма соседних углов параллелограмма равна $180°$.$$\angle A = 180° - 115° = 65°$$

Угол диагонали в трапеции

В равнобедренной трапеции с основаниями $AD$ и $BC$ угол $D$ равен $80^\circ$. Диагональ $AC$ образует со стороной $AB$ угол $30^\circ$. Сколько градусов составляет угол между этой диагональю и…

1. 1
   В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому угол $A$ равен углу $D$.$$\angle A = \angle D = 80^\circ$$
2. 2
   Диагональ $AC$ делит угол $A$ на угол между сторонами $AB$ и $AC$, равный $30^\circ$, и искомый угол между $AC$ и основанием $AD$.$$\angle CAD = \angle DAB - \angle BAC$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $44^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$, поэтому тупой угол равен:$$180^\circ - 44^\circ = 136^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупые углы пополам. Поэтому искомый угол равен:$$\dfrac{136^\circ}{2} = 68^\circ$$

Угол между стороной и диагональю

Острый угол ромба равен $48^\circ$. Сколько градусов составляет угол между стороной и меньшей диагональю ромба?

1. 1
   Соседние углы ромба в сумме составляют $180^\circ$. Найдём тупой угол:$$180^\circ - 48^\circ = 132^\circ$$
2. 2
   Меньшая диагональ ромба делит тупой угол пополам, поэтому угол между стороной и диагональю равен:$$132^\circ : 2 = 66^\circ$$

Острый угол ромба

Перпендикуляр, проведённый из точки пересечения диагоналей ромба к его стороне, образует с одной из его диагоналей угол $38°$. Сколько градусов составляет острый угол ромба?

1. 1
   Перпендикуляр к стороне ромба образует с диагональю угол $38°$. Поэтому угол между этой стороной и диагональю, перпендикулярной к ней, дополняет его до прямого угла.$$90° - 38° = 52°$$
2. 2
   Диагональ ромба делит угол ромба пополам, значит соответствующий тупой угол ромба равен:$$2 \cdot 52° = 104°$$

Ещё 1 қадам — толық шешімде