Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Степени и выражения» — с ответами

Сравнение квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{58}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел, указанных в подходящем промежутке.$$7^2 = 49,\quad 8^2 = 64$$
2. 2
   Число 58 больше 49 и меньше 64, поэтому его квадратный корень находится между 7 и 8.$$49 < 58 < 64 \Rightarrow 7 < \sqrt{58} < 8$$

Число в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{62}$ и $\sqrt{72}$ принадлежит промежутку $[7; 8]$?

1. 1
   Возведём границы промежутка в квадрат:$$7^2 = 49,\quad 8^2 = 64$$
2. 2
   Число $\sqrt{a}$ принадлежит промежутку $[7; 8]$, если $49 \leqslant a \leqslant 64$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{73}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел 8 и 9.$$8^2 = 64, \quad 9^2 = 81$$
2. 2
   Число 73 находится между 64 и 81, поэтому его квадратный корень находится между 8 и 9.$$64 < 73 < 81 \Rightarrow 8 < \sqrt{73} < 9$$

Оценка квадратного корня

Между какими числами заключено число $\sqrt{30}$?

1. 1
   Найдём квадраты чисел 5 и 6.$$5^2 = 25, \quad 6^2 = 36$$
2. 2
   Число 30 находится между 25 и 36, поэтому его квадратный корень находится между 5 и 6.$$25 < 30 < 36 \Rightarrow 5 < \sqrt{30} < 6$$

Корень в заданном промежутке

Какое из чисел $\sqrt{7}$, $\sqrt{8}$, $\sqrt{45}$ и $\sqrt{60}$ принадлежит промежутку $[7; 8]$?

1. 1
   Чтобы число $\sqrt{n}$ принадлежало промежутку $[7; 8]$, необходимо, чтобы выполнялось двойное неравенство:$$7 \leqslant \sqrt{n} \leqslant 8$$
2. 2
   Возводим границы неравенства в квадрат:$$7^2 \leqslant n \leqslant 8^2,\quad 49 \leqslant n \leqslant 64$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенью

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{4a^{20}}{a^{14}}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Упростим дробь степеней с одинаковым основанием:$$\dfrac{4a^{20}}{a^{14}} = 4a^{20-14} = 4a^6$$
2. 2
   Извлечём квадратный корень, учитывая, что $a = 3 > 0$:$$\sqrt{4a^6} = 2a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(a^2)^{-6} : a^{-15}$ при $a = 4$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках по правилу возведения степени в степень.$$(a^2)^{-6} = a^{-12}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели.$$a^{-12} : a^{-15} = a^{-12-(-15)} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot x^4y^6}$ при $x=2$ и $y=3$.

1. 1
   Подставим $x=2$ и $y=3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 2^4\cdot 3^6}$$
2. 2
   Вычислим степени и произведение под корнем.$$\sqrt{\dfrac{1}{4}\cdot 16\cdot 729}=\sqrt{2916}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-14} \cdot (a^9)^2$ при $a = 3$.

1. 1
   Применим свойство степени степени:$$(a^9)^2 = a^{18}$$
2. 2
   Сложим показатели степеней при умножении степеней с одинаковым основанием:$$a^{-14} \cdot a^{18} = a^{-14+18} = a^4$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^8 \cdot a^{17} : a^{20}$ при $a = 2$.

1. 1
   Используем свойства степеней с одинаковым основанием.$$a^8 \cdot a^{17} : a^{20} = a^{8+17-20} = a^5$$
2. 2
   Подставляем значение $a = 2$.$$2^5 = 32$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot x^2 y^6}$ при $x = 7$ и $y = 3$.

1. 1
   Подставим $x = 7$ и $y = 3$ в выражение.$$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot 7^2 \cdot 3^6}$$
2. 2
   Представим подкоренное выражение в виде квадрата.$$\sqrt{\dfrac{1}{9} \cdot 49 \cdot 729} = \sqrt{49 \cdot 81}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $a^{-12} \cdot (a^7)^2$ при $a = 6$.

1. 1
   Преобразуем степень произведения:$$(a^7)^2 = a^{14}$$
2. 2
   Применяем свойство умножения степеней с одинаковым основанием:$$a^{-12} \cdot a^{14} = a^{-12+14} = a^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(a^4)^4 \cdot a^5}{a^{18}}$ при $a = 3$.

1. 1
   Преобразуем степень в скобках:$$(a^4)^4 = a^{16}$$
2. 2
   Объединяем степени при умножении и делении:$$\dfrac{a^{16} \cdot a^5}{a^{18}} = a^{16+5-18} = a^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Скорость по кинетической энергии

Кинетическая энергия тела массой $m$ кг, двигающегося со скоростью $v$ м/с, вычисляется по формуле $E = \dfrac{mv^2}{2}$ и измеряется в джоулях (Дж). Известно, что автомобиль массой 1600 кг обладает…

1. 1
   Выразим скорость из формулы кинетической энергии:$$E = \dfrac{mv^2}{2} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{2E}{m}}$$
2. 2
   Подставим известные значения массы и энергии:$$v = \sqrt{\dfrac{2 \cdot 180000}{1600}} = \sqrt{225} = 15$$

Радиус по центростремительному ускорению

Центростремительное ускорение при движении по окружности вычисляется по формуле $a = \omega^2 R$, где $\omega$ — угловая скорость (в $\mathrm{с}^{-1}$), $R$ — радиус окружности (в метрах). Найдите…

1. 1
   Выразим радиус из формулы $a = \omega^2 R$.$$R = \dfrac{a}{\omega^2}$$
2. 2
   Подставим заданные значения угловой скорости и ускорения.$$R = \dfrac{48}{4^2} = \dfrac{48}{16} = 3$$

Перевод температуры в Фаренгейты

Чтобы перевести значение температуры по шкале Цельсия в шкалу Фаренгейта, пользуются формулой $t_F = 1{,}8t_C + 32$, где $t_C$ — температура в градусах Цельсия, $t_F$ — температура в градусах…

1. 1
   Подставим $t_C = -100$ в формулу перевода температуры:$$t_F = 1{,}8 \cdot (-100) + 32$$
2. 2
   Выполним вычисления:$$t_F = -180 + 32 = -148$$

Масса тела по энергии

Если тело массой $m$ кг подвешено на высоте $h$ м над горизонтальной поверхностью земли, то его потенциальная энергия в джоулях вычисляется по формуле $E_p = mgh$, где $g = 9{,}8\ \text{м/с}^2$…

1. 1
   Выразим массу тела из формулы потенциальной энергии.$$m = \dfrac{E_p}{gh}$$
2. 2
   Подставим известные значения потенциальной энергии, ускорения свободного падения и высоты.$$m = \dfrac{1764}{9{,}8 \cdot 6} = 30$$

Диагональ четырёхугольника

Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле $S = \dfrac{d_1 d_2 \sin\alpha}{2}$, где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей четырёхугольника, $\alpha$ — угол между диагоналями. Пользуясь этой…

1. 1
   Выразим длину диагонали $d_2$ из формулы площади:$$d_2 = \dfrac{2S}{d_1\sin\alpha}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$d_2 = \dfrac{2 \cdot 19}{6 \cdot \frac{1}{3}} = \dfrac{38}{2} = 19$$

Расчёт сопротивления по мощности

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление $R$, если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности:$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения:$$R = \dfrac{211{,}25}{6{,}5^2} = \dfrac{211{,}25}{42{,}25} = 5$$

Сопротивление по мощности тока

Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле $P = I^2R$, где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление $R$, если…

1. 1
   Выразим сопротивление из формулы мощности постоянного тока.$$R = \dfrac{P}{I^2}$$
2. 2
   Подставим известные значения.$$R = \dfrac{541{,}5}{9{,}5^2} = \dfrac{541{,}5}{90{,}25} = 6$$