В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{7}{12}$, $AB = 48$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $AC$.$$AC = AB \cdot \sin B = 48 \cdot \frac{7}{12} = 28$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 14$, $AB = 50$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим.$$\cos B = \dfrac{14}{50} = 0{,}28$$
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 40 и 50 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим неизвестный катет через $x$. По теореме Пифагора:$$x^2 + 40^2 = 50^2$$
- 2
Найдём квадрат неизвестного катета:$$x^2 = 50^2 - 40^2 = 2500 - 1600 = 900$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Сторона равностороннего треугольника равна $10\sqrt{3}$. Найдите биссектрису этого треугольника.
- 1
В равностороннем треугольнике биссектриса является также высотой.$$h=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны треугольника.$$h=\dfrac{10\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2}=\dfrac{30}{2}=15$$
Точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Сторона $AB$ равна 24, сторона $BC$ равна 13, сторона $AC$ равна 26. Найдите $MN$.
- 1
Отрезок $MN$ соединяет середины двух сторон треугольника, поэтому является его средней линией.$$MN \parallel AC$$
- 2
По свойству средней линии треугольника её длина равна половине третьей стороны.$$MN = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{26}{2} = 13$$
Два катета прямоугольного треугольника равны 7 и 12. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов.$$S = \dfrac{ab}{2}$$
- 2
Подставим значения катетов:$$S = \dfrac{7 \cdot 12}{2} = 42$$
Сторона треугольника равна 8, а высота, проведённая к этой стороне, равна 31. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 31 = 4 \cdot 31 = 124$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 10$, $AC = 7$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, катеты треугольника — $AC$ и $BC$.
- 2
Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$, прилежащий катет — $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Высота равностороннего треугольника равна $11\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника связана со стороной формулой:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим известное значение высоты:$$11\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 148^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенства сторон $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, а его углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Используем сумму углов треугольника:$$\angle BAC + \angle ABC + \angle BCA = 180^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 16$, $AB = 25$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащим катетом является сторона $BC$.
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 9 и 15 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.
- 1
Обозначим второй катет через $x$ и применим теорему Пифагора.$$x^2 + 9^2 = 15^2$$
- 2
Выразим квадрат второго катета.$$x^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 26$, $AB = 40$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — $BC$.
- 2
Используем определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90°$, $BC = 9$, $AB = 20$. Найдите $\cos B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — сторона $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставляем известные значения:$$\cos B = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 24$, $AB = 25$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащей стороной является $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения длин сторон.$$\sin B = \dfrac{24}{25} = 0{,}96$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 4$, $AC = 28$. Найдите $\tg B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, стороны $AC$ и $BC$ являются катетами. Для угла $B$ катет $AC$ — противолежащий, а $BC$ — прилежащий.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим.$$\tg B = \dfrac{28}{4} = 7$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{12}$, $AB = 60$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ прилежащий катет — это $BC$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$BC = AB \cdot \cos B = 60 \cdot \dfrac{5}{12} = 25$$
Сторона треугольника равна 14, а высота, проведённая к этой стороне, равна 23. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим данные задачи и вычислим площадь.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 23 = 7 \cdot 23 = 161$$
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 19^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота треугольника $ABC$, то $BH \perp AC$. Следовательно, треугольник $ABH$ прямоугольный, а $\angle AHB = 90^\circ$.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Поскольку луч $AH$ лежит на стороне $AC$, угол $BAH$ равен углу $BAC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 19^\circ$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 8$, $AB = 40$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Для угла $B$ противолежащий катет — $AC$.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
- 2
Подставим известные длины сторон и вычислим значение синуса.$$\sin B = \dfrac{8}{40} = 0{,}2$$