В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 12$, $BC = 10$, $\sin \angle ABC = \dfrac{8}{15}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Площадь треугольника через две стороны и синус угла между ними вычисляется по формуле:$$S = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения:$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 12 \cdot 10 \cdot \dfrac{8}{15} = 32$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 102^\circ$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\angle BAC + \angle BCA = 180^\circ - 102^\circ = 78^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{5}{16}$, $AB = 80$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $AC$ — катетом, противолежащим углу $B$.$$AB = 80$$
- 2
По определению синуса угла $B$ выразим сторону $AC$:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{3}{8}$, $AB = 64$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — катетом, прилежащим к углу $B$.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Подставим известные значения и найдём длину катета $BC$.$$\dfrac{3}{8} = \dfrac{BC}{64},\quad BC = 64 \cdot \dfrac{3}{8} = 24$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $151^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 151^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 151^\circ = 29^\circ$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 38$, $BM$ — медиана, $BM = 17$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = MC = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{38}{2} = 19$$
Сторона треугольника равна 24, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника.
- 1
Используем формулу площади треугольника через сторону и высоту, проведённую к этой стороне.$$S = \dfrac{1}{2}ah$$
- 2
Подставим значения стороны и высоты.$$S = \dfrac{1}{2} \cdot 24 \cdot 19 = 12 \cdot 19 = 228$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $133^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$∠C + ∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$∠C_{\text{внешн.}} = 180^\circ - 133^\circ = 47^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $AC = 4$, $AB = 5$. Найдите $\sin B$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Сторона $AC$ лежит напротив угла $B$.
- 2
Используем определение синуса острого угла прямоугольного треугольника:$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\cos B = \dfrac{5}{6}$, $AB = 18$. Найдите $BC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой, а $BC$ — прилежащим к углу $B$ катетом.$$\cos B = \dfrac{BC}{AB}$$
- 2
Выразим длину катета $BC$ и подставим известные значения.$$BC = AB \cdot \cos B = 18 \cdot \dfrac{5}{6} = 15$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\tg B = \dfrac{7}{12}$, $BC = 48$. Найдите $AC$.
- 1
В прямоугольном треугольнике тангенс угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$.$$\tg B = \dfrac{AC}{BC}$$
- 2
Выразим длину катета $AC$ и подставим известные значения.$$AC = BC \cdot \tg B = 48 \cdot \dfrac{7}{12} = 28$$
В треугольнике два угла равны $38^\circ$ и $89^\circ$. Найдите его третий угол. Ответ дайте в градусах.
- 1
Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.$$\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$$
- 2
Вычислим третий угол:$$\gamma = 180^\circ - 38^\circ - 89^\circ = 53^\circ$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $124^\circ$. Найдите внешний угол при вершине $C$.
- 1
Внутренний и внешний углы при вершине $C$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.$$\alpha + 124^\circ = 180^\circ$$
- 2
Находим внешний угол:$$\alpha = 180^\circ - 124^\circ = 56^\circ$$
В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$. Найдите градусную меру угла $ABM$, если $AB = BC$ и $\angle ABC = 68^\circ$.
- 1
Так как $AB = BC$, треугольник $ABC$ равнобедренный с вершиной $B$ и основанием $AC$.
- 2
Медиана $BM$, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является биссектрисой угла $ABC$.$$\angle ABM = \frac{1}{2}\angle ABC$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BH$, $\angle BAC = 46^\circ$. Найдите угол $ABH$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Так как $BH$ — высота, то $BH \perp AC$, поэтому угол $AHB$ прямой.$$\angle AHB = 90^\circ$$
- 2
Угол $BAH$ является частью угла $BAC$, поскольку точки $H$ и $C$ лежат на одной прямой $AC$.$$\angle BAH = \angle BAC = 46^\circ$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
Высота равностороннего треугольника равна $12\sqrt{3}$. Найдите сторону этого треугольника.
- 1
Высота равностороннего треугольника со стороной $a$ равна:$$h = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$$
- 2
Подставим значение высоты и найдём сторону:$$12\sqrt{3} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2},\quad a = \dfrac{24\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 24$$
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $\angle ABC = 106°$. Найдите угол $BCA$. Ответ дайте в градусах.
- 1
Из равенства $AB = BC$ следует, что треугольник $ABC$ равнобедренный, поэтому углы при основании равны.$$\angle BAC = \angle BCA$$
- 2
Сумма углов треугольника равна $180°$. Обозначим каждый угол при основании через $x$.$$x + x + 106° = 180°$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = 52$, $BM$ — медиана, $BM = 36$. Найдите $AM$.
- 1
Медиана $BM$ делит сторону $AC$ пополам.$$AM = \dfrac{AC}{2}$$
- 2
Подставим известную длину стороны $AC$.$$AM = \dfrac{52}{2} = 26$$
В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $\sin B = \dfrac{3}{5}$, $AB = 10$. Найдите $AC$.
- 1
Так как угол $C$ прямой, сторона $AB$ является гипотенузой. Катет $AC$ противоположен углу $B$.$$AB = 10$$
- 2
Используем определение синуса острого угла.$$\sin B = \dfrac{AC}{AB}$$
Ещё 1 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 6$, $BC = 12$, $\sin \angle ABC = \dfrac{1}{4}$. Найдите площадь треугольника $ABC$.
- 1
Стороны $AB$ и $BC$ образуют угол $\angle ABC$, поэтому применяем формулу площади через две стороны и синус угла между ними.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC \cdot \sin \angle ABC$$
- 2
Подставим известные значения и вычислим площадь.$$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 12 \cdot \dfrac{1}{4} = 9$$