Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Функции и графики» — с ответами

Найдите интеграл: ∫ 1/(x-3) dx

Найдите интеграл: $\int \frac{1}{x-3} dx$

1. 1
   Интеграл вида $\int \frac{1}{x-a} dx$ равен $\ln|x-a| + C$ по стандартной формуле интегрирования.$$\int \frac{1}{x-a} dx = \ln|x-a| + C$$
2. 2
   Здесь $a = 3$, поэтому $\int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$.$$\int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Химическая реакция подчиняется закону H(t)=5ln t+t². Найдите скорость реакции в момент

Химическая реакция подчиняется закону $H(t)=5\ln t+t^2$. Найдите скорость реакции в момент времени $t=2$.

1. 1
   Скорость реакции — это производная функции $H(t)$ по времени $t$.$$H'(t) = \frac{d}{dt}(5\ln t + t^2) = \frac{5}{t} + 2t$$
2. 2
   Подставляем $t=2$ в производную.$$H'(2) = \frac{5}{2} + 2\cdot 2 = 2.5 + 4 = 6.5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Вычислите: lim_(x → 3) (3x² - 27)/(x - 3)

Вычислите: $\lim_{x \to 3} \frac{3x^2 - 27}{x - 3}$

1. 1
   Подставим $x = 3$ в числитель и знаменатель: $\frac{3 \cdot 3^2 - 27}{3 - 3} = \frac{27 - 27}{0} = \frac{0}{0}$ — неопределенность, необходимо преобразовать выражение.
2. 2
   Вынесем общий множитель в числителе: $3x^2 - 27 = 3(x^2 - 9) = 3(x - 3)(x + 3)$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите уравнение касательной к y = 9x - x² в точке x₀ = 1.

Найдите уравнение касательной к $y = 9x - x^2$ в точке $x_0 = 1$.

1. 1
   Найдите производную функции: $y' = 9 - 2x$.$$y' = 9 - 2x$$
2. 2
   Подставьте $x_0 = 1$ в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной: $y'(1) = 9 - 2\cdot1 = 7$.$$y'(1) = 9 - 2\cdot 1 = 7$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите значение производной функции y = x² + √(2x + 5) - √7, в точке $x_0 =

Найдите значение производной функции $y = x^2 + \sqrt{2x + 5} - \sqrt{7}$, в точке $x_0 = -2$.

1. 1
   Найдите производную функции. Производная от $x^2$ равна $2x$. Производная от $\sqrt{2x + 5}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{2x + 5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$. Производная от константы $\sqrt{7}$ равна $0$. Итого…$$y' = 2x + \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$$
2. 2
   Подставьте $x_0 = -2$ в производную. Сначала вычислите $\sqrt{2x + 5}$ при $x = -2$: $2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$, поэтому $\sqrt{1} = 1$. Тогда $\frac{1}{\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{1} = 1$. Теперь $2x = 2 \cdot (-2) = -4$. Сложите…$$y'(-2) = 2(-2) + \frac{1}{\sqrt{2(-2)+5}} = -4 + \frac{1}{\sqrt{1}} = -4 + 1 = -3$$

Найдите область значений функции: f(x) = -x² + 6x - 14

Найдите область значений функции: $f(x) = -x^2 + 6x - 14$

1. 1
   Найдите вершину параболы: для $f(x) = ax^2 + bx + c$ координата вершины по $x$ равна $x_0 = -\frac{b}{2a}$$$x_0 = -\frac{6}{2(-1)} = 3$$
2. 2
   Подставьте $x_0 = 3$ в функцию, чтобы найти максимальное значение (так как $a = -1 < 0$): $f(3) = -(3)^2 + 6\cdot 3 - 14 = -9 + 18 - 14 = -5$$$f(3) = -5$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите: ∫ (x+2)²dx

Найдите: $\int (x+2)^2dx$

Укажите одну из первообразных для функции f(x) = -6/x, при x>0

Укажите одну из первообразных для функции $f(x) = -\frac{6}{x}$, при $x>0$

1. 1
   Найдем первообразную функции $f(x) = -\frac{6}{x}$ на интервале $x>0$. Помним, что первообразной функции $\frac{1}{x}$ является $\ln |x|$, а при $x>0$ — $\ln x$.$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln x + C\quad (x>0)$$
2. 2
   Тогда первообразная $-6\cdot\frac{1}{x}$ равна $-6$ умножить на первообразную $\frac{1}{x}$:$$\int -\frac{6}{x}\,dx = -6\int \frac{1}{x}\,dx = -6\ln x + C$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Даны функции: f(x) = √(3x-1), g(x) = x²/4 + 5x - 6. Найдите f(g(x)).

Даны функции: $f(x) = \sqrt{3x-1}$, $g(x) = \frac{x^2}{4} + 5x - 6$. Найдите $f(g(x))$.

1. 1
   Подставляем выражение g(x) в функцию f: f(g(x)) = sqrt(3 * g(x) - 1).$$f(g(x)) = \sqrt{3 \cdot g(x) - 1}$$
2. 2
   Подставляем g(x) = x^2/4 + 5x - 6: f(g(x)) = sqrt(3 * (x^2/4 + 5x - 6) - 1).$$f(g(x)) = \sqrt{3 \cdot \left(\frac{x^2}{4} + 5x - 6\right) - 1}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - 4x + 4 и графиком ее про

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 4x + 4$ и графиком ее производной.

1. 1
   Найди производную функции: $y' = 2x - 4$.
2. 2
   Найди точки пересечения функций: реши $x^2 - 4x + 4 = 2x - 4$. Упрости: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Делители 8, сумма 6 → корни $x=2$, $x=4$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Напишите уравнение касательной к графику функции y = 2x² - x + 3 в точке x₀ = 1.

Напишите уравнение касательной к графику функции $y = 2x^2 - x + 3$ в точке $x_0 = 1$.

1. 1
   Найдите значение функции в точке $x_0 = 1$: $y_0 = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$. Точка касания: $(1, 4)$.$$y_0 = 2(1)^2 - 1 + 3 = 4$$
2. 2
   Найдите производную функции: $y' = 4x - 1$. При $x_0 = 1$: $y'(1) = 4\cdot1 - 1 = 3$ — это угловой коэффициент касательной.$$y' = 4x - 1,\quad y'(1) = 3$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Вычислите: lim_(x → 2) (4x² - 2x + 5)/(x + 1)

Вычислите: $\lim_{x \to 2} \frac{4x^2 - 2x + 5}{x + 1}$

1. 1
   Поскольку функция $\frac{4x^2-2x+5}{x+1}$ является рациональной и знаменатель не обращается в ноль при $x\to2$ ($2+1=3\neq0$), предел равен значению функции в точке $x=2$.
2. 2
   Подставляем $x=2$ в числитель: $4\cdot2^2-2\cdot2+5 = 16-4+5 = 17$

Ещё 3 шага — в полном решении

Частное решение дифференциального уравнения y' = 2x - 1 при условии, что y(2) = 3 равн

Частное решение дифференциального уравнения $y' = 2x - 1$ при условии, что $y(2) = 3$ равно

1. 1
   Найдем общее решение дифференциального уравнения, интегрировав правую часть: $y = \int (2x - 1) dx = x^2 - x + C$$$y = \int (2x - 1) dx = x^2 - x + C$$
2. 2
   Подставим начальное условие $y(2) = 3$ для определения постоянной $C$: $3 = 2^2 - 2 + C \Rightarrow 3 = 4 - 2 + C \Rightarrow 3 = 2 + C \Rightarrow C = 1$$$3 = 2^2 - 2 + C \Rightarrow C = 1$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите точки пересечения графиков функций y=4x и y=x²-2x+9.

Найдите точки пересечения графиков функций $y=4x$ и $y=x^2-2x+9$.

1. 1
   Приравняем функции, чтобы найти x-координаты точек пересечения: $4x = x^2 - 2x + 9$$$4x = x^2 - 2x + 9$$
2. 2
   Перенесём все члены в одну часть: $x^2 - 6x + 9 = 0$$$x^2 - 6x + 9 = 0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Функцияның анықталу облысын табыңыз: y = √(|x|-5)

Функцияның анықталу облысын табыңыз: $y = \sqrt{|x|-5}$

1. 1
   Для того чтобы функция $y = \sqrt{|x| - 5}$ была определена, выражение под корнем должно быть неотрицательным: $|x| - 5 \ge 0$.
2. 2
   Решаем неравенство: $|x| \ge 5$. Это означает, что $x \le -5$ или $x \ge 5$.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите какие точки лежат на графике функции 4y + 5x² = 0

Найдите какие точки лежат на графике функции $4y + 5x^2 = 0$

Квадратичная функция задана в виде y = (x - 2)² - 1. Установите соответствие между коор

Квадратичная функция задана в виде $y = (x - 2)^2 - 1$. Установите соответствие между координатами вершины параболы, нулями функции и их значениями А) нули функции В) координаты вершины параболы

1. 1
   Квадратичная функция задана в виде y = (x - 2)^2 - 1, что соответствует форме y = a(x - h)^2 + k, где (h; k) — координаты вершины. Сравниваем: h = 2, k = -1, значит вершина в точке (2; -1).
2. 2
   Нулями функции являются значения x, при которых y = 0. Решаем уравнение: (x - 2)^2 - 1 = 0 → (x - 2)^2 = 1 → x - 2 = ±1 → x = 2 + 1 = 3 или x = 2 - 1 = 1. Таким образом, нули функции: x = 1 и x = 3, записываем как {1; 3} (множество…

По данному графику функции. Сопоставьте: A) найдите f(0)+f(2) B) найдите x, если f(x)=-3

По данному графику функции. Сопоставьте: A) найдите f(0)+f(2) B) найдите x, если f(x)=-3

y = 1+sin π/2x функциясының периодын табыңыз

$y = 1+\sin \frac{\pi}{2}x$ функциясының периодын табыңыз

1. 1
   Функция $y = 1 + \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)$ состоит из постоянного слагаемого и синуса. Период определяется только тригонометрической частью, так как константа не влияет на период.
2. 2
   Период функции $\sin(Bx)$ равен $\frac{2\pi}{|B|}$. Здесь $B = \frac{\pi}{2}$.

Ещё 2 шага — в полном решении

Корни уравнения f'(x)=0, где f(x)=x³-3x²+15

Корни уравнения $f'(x)=0$, где $f(x)=x^3-3x^2+15$

1. 1
   Найти производную функции f(x) = x³ - 3x² + 15.$$f'(x) = 3x^2 - 6x$$
2. 2
   Приравнять производную к нулю и решить уравнение: 3x² - 6x = 0.$$3x(x - 2) = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении