Задание 16 ЕНТ по математике: решения ФИПИ с ответами по шагам

Вычислите: 81^(log₃ 5) + 27^(log₉ 36) + 3^(4log₉ 7)

Вычислите: $81^{\log_3 5} + 27^{\log_9 36} + 3^{4\log_9 7}$

Упростите: (sin 3α)/(sin α) - (cos 3α)/(cos α)

Упростите: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin \alpha} - \frac{\cos 3\alpha}{\cos \alpha}$

1. 1
   Используем формулы тройного угла: $\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha$ и $\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$$\sin 3\alpha = 3\sin\alpha - 4\sin^3\alpha\\\cos 3\alpha = 4\cos^3\alpha - 3\cos\alpha$$
2. 2
   Подставляем в выражение и делим: $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha$, $\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} = 3 - 4\sin^2\alpha\\\frac{\cos 3\alpha}{\cos\alpha} = 4\cos^2\alpha - 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Расстояние между двумя городами на карте с масштабом 1:2500000 составляет 4 см. Каково реальное расстояние между ними?

Расстояние между двумя городами на карте с масштабом 1:2500000 составляет 4 см. Каково реальное расстояние между ними?

1. 1
   Масштаб 1:2500000 означает, что 1 см на карте соответствует 2500000 см в реальности.
2. 2
   Умножим расстояние на карте на коэффициент масштаба: 4 см × 2500000 = 10000000 см.

Ещё 1 шаг — в полном решении

Найдите угол между прямыми, заданными параметрически: $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = t \

Найдите угол между прямыми, заданными параметрически: $\begin{cases} x = 2t + 1 \\ y = t \\ z = -t - 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} x = t + 2 \\ y = -2t + 1 \\ z = 1 \end{cases}$

Найдите расстояние от точки A(1; -2; 3) до координатной прямой Oy

Найдите расстояние от точки A(1; -2; 3) до координатной прямой Oy

1. 1
   Координатная прямая Oy — это ось Y, на которой координаты x и z равны нулю: все точки вида (0, y, 0).
2. 2
   Находим проекцию точки A(1, -2, 3) на прямую Oy: это точка (0, -2, 0), так как координаты x и z обнуляются, а y сохраняется.

Ещё 2 шага — в полном решении

Решите уравнение: log₂(x + 1) + log₂(x + 2) = 1

Решите уравнение: $\log_2(x + 1) + \log_2(x + 2) = 1$

1. 1
   Сведём сумму логарифмов к произведению: $\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$$\log_2((x+1)(x+2)) = 1$$
2. 2
   Перепишем уравнение в экспоненциальной форме: $(x+1)(x+2) = 2^1 = 2$$$(x+1)(x+2) = 2$$

Ещё 3 шага — в полном решении

Решите уравнение: cos² 9x + sin² 7x + cos² 5x + sin² 3x = 2

Решите уравнение: $\cos^2 9x + \sin^2 7x + \cos^2 5x + \sin^2 3x = 2$

1. 1
   Применим тождество $\cos^2\alpha + \sin^2\beta = 1 - \frac{\cos 2\alpha - \cos 2\beta}{2}$ или перегруппируем: $\cos^2 9x - \sin^2 3x + \sin^2 7x + \cos^2 5x = 2$. Используем $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$…
2. 2
   Проверяем варианты: A и D идентичны: оба дают $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$ и $\frac{\pi k}{12}$. B имеет неправильный первый член ($\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$), C имеет неправильный второй член ($\frac{\pi k}{2}$ вместо…