Арифметикалық прогрессияның $a_3= 7,5$ және $a_7=14,3$ прогрессияның бірінші мүшесін және айырмасын табыңыз.
- 1
Для арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$. Составим систему уравнений для $a_3$ и $a_7$: $a_1 + 2d = 7,5$, $a_1 + 6d = 14,3$.
- 2
Вычтем первое уравнение из второго: $(a_1 + 6d) - (a_1 + 2d) = 14,3 - 7,5 \implies 4d = 6,8 \implies d = 1,7$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В арифметической прогрессии $a_1 = -2$, $d = 16$, найдите номер члена арифметической прогрессии, равного 174.
- 1
Используем формулу для n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.$$a_n = a_1 + (n-1)d$$
- 2
Подставляем известные значения: $a_n = 174$, $a_1 = -2$, $d = 16$. Получаем: $174 = -2 + (n-1) \cdot 16$.$$174 = -2 + (n-1) \cdot 16$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Выражение $12x^2 - 36xy + 27y^2$ равно:
- 1
Вынести наибольший общий множитель из всех членов многочлена.$$12x^2 - 36xy + 27y^2 = 3(4x^2 - 12xy + 9y^2)$$
- 2
Узнать, является ли выражение в скобках квадратом суммы (или разности).$$4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3y + (3y)^2 = (2x - 3y)^2$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Решите уравнение: $\arcsin x = \cos \frac{\pi}{3}$
- 1
Вычислим значение косинуса: $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$
- 2
Тогда уравнение становится: $\arcsin x = \frac{1}{2}$$$\arcsin x = \frac{1}{2}$$
Ещё 2 шага — в полном решении
Решите уравнение $\sin^2x - 17\sin x + 16 = 0$ и найдите его корни на $x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$
- 1
Обозначим $\sin x = t$. Тогда уравнение примет вид $t^2 - 17t + 16 = 0$.$$t^2 - 17t + 16 = 0$$
- 2
Решим квадратное уравнение: дискриминант $D = (-17)^2 - 4\cdot1\cdot16 = 289 - 64 = 225 = 15^2$. Корни: $t = \frac{17 \pm 15}{2}$ → $t_1 = 16$, $t_2 = 1$.$$t = \frac{17 \pm 15}{2}$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Найдите значение производной функции $y = x^2 + \sqrt{2x + 5} - \sqrt{7}$, в точке $x_0 = -2$.
- 1
Найдите производную функции. Производная от $x^2$ равна $2x$. Производная от $\sqrt{2x + 5}$ равна $\frac{1}{2\sqrt{2x + 5}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$. Производная от константы $\sqrt{7}$ равна $0$. Итого…$$y' = 2x + \frac{1}{\sqrt{2x + 5}}$$
- 2
Подставьте $x_0 = -2$ в производную. Сначала вычислите $\sqrt{2x + 5}$ при $x = -2$: $2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1$, поэтому $\sqrt{1} = 1$. Тогда $\frac{1}{\sqrt{2x + 5}} = \frac{1}{1} = 1$. Теперь $2x = 2 \cdot (-2) = -4$. Сложите…$$y'(-2) = 2(-2) + \frac{1}{\sqrt{2(-2)+5}} = -4 + \frac{1}{\sqrt{1}} = -4 + 1 = -3$$
Найдите область значений функции: $f(x) = -x^2 + 6x - 14$
- 1
Найдите вершину параболы: для $f(x) = ax^2 + bx + c$ координата вершины по $x$ равна $x_0 = -\frac{b}{2a}$$$x_0 = -\frac{6}{2(-1)} = 3$$
- 2
Подставьте $x_0 = 3$ в функцию, чтобы найти максимальное значение (так как $a = -1 < 0$): $f(3) = -(3)^2 + 6\cdot 3 - 14 = -9 + 18 - 14 = -5$$$f(3) = -5$$
Ещё 1 шаг — в полном решении