Решения заданий ФИПИ ЕНТ по математике: «Функции и графики» — с ответами

Функцияның анықталу облысын табыңыз: y = √(|x|-3)

Функцияның анықталу облысын табыңыз: $y = \sqrt{|x|-3}$

1. 1
   Для определения области допустимых значений функции под корнем должно быть неотрицательным: $|x| - 3 \geq 0$.$$|x| - 3 \geq 0$$
2. 2
   Решим неравенство: $|x| \geq 3$ означает, что $x \leq -3$ или $x \geq 3$.$$|x| \geq 3 \Leftrightarrow x \leq -3 \; \text{или} \; x \geq 3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Функцияның анықталу облысын табыңыз: $y = \arcsin \left(\frac{x-5}{6}\right) - \lg(x^2-10x

Функцияның анықталу облысын табыңыз: $y = \arcsin \left(\frac{x-5}{6}\right) - \lg(x^2-10x+24)$

1. 1
   Найдем область определения arcsin((x-5)/6): требуется -1 ≤ (x-5)/6 ≤ 1
2. 2
   Умножаем неравенство на 6: -6 ≤ x-5 ≤ 6 → прибавляем 5: -1 ≤ x ≤ 11

Ещё 3 шага — в полном решении

Укажите все целые числа из области определения функции: $y=\mathrm{arctg}(3x+1)+\frac{1}{\

Укажите все целые числа из области определения функции: $y=\mathrm{arctg}(3x+1)+\frac{1}{\sqrt{-x^2+10x-21}}$

1. 1
   Найти область определения: арктангенс определён для всех действительных x, поэтому ограничения только от корня в знаменателе. Знаменатель не должен быть нулём, а радикал должен быть строго положительным.$$-x^2+10x-21>0$$
2. 2
   Решить неравенство: $-x^2+10x-21>0$ умножить на $-1$ (знак меняется): $x^2-10x+21<0$$$x^2-10x+21<0$$

Ещё 3 шага — в полном решении

При помощи графика функции y = ||x-1|-3| выясните, сколько решений имеет уравнение $||x-

При помощи графика функции $y = ||x-1|-3|$ выясните, сколько решений имеет уравнение $||x-1|-3| = a$ в зависимости от значений параметра $a$. Установите соответствие между значениями параметра $a$ и…

1. 1
   График функции $y = ||x-1|-3|$ симметричен относительно $x=1$, имеет минимум $0$ в точках $x=-2$ и $x=4$, максимум локальный $3$ в точке $x=1$, и растёт бесконечно при $|x|\to\infty$. Форма графика — две «V»-образные ветви, соединяющиеся…
2. 2
   Для $a < 0$ — решений нет (график никогда не отрицателен). Для $a = 0$ — ровно два решения: $x=-2$ и $x=4$ (точки касания с осью $x$).

Ещё 3 шага — в полном решении

Қандай сызық мына теңдеу арқылы берілген: x² + y + 1 = 4(2y + x)

Қандай сызық мына теңдеу арқылы берілген: $x^2 + y + 1 = 4(2y + x)$

1. 1
   Раскроем скобки в правой части уравнения: $4(2y + x) = 8y + 4x$.$$x^2 + y + 1 = 8y + 4x$$
2. 2
   Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить уравнение относительно $x$ и $y$ в стандартном виде: $x^2 - 4x + y - 8y + 1 = 0$ → $x^2 - 4x - 7y + 1 = 0$.$$x^2 - 4x - 7y + 1 = 0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Объект движется со скоростью s(t)=1/2t² - 1/2t (s(t) - метр, t - время).

Объект движется со скоростью $s(t)=\frac{1}{2}t^2 - \frac{1}{2}t$ ($s(t)$ - метр, $t$ - время). Скорость объекта достигает максимального значения в точное время в диапазоне $[1s; 10s]$ (время, с)…

1. 1
   Найдите производную скорости, чтобы определить момент экстремума: $s'(t) = t - \frac{1}{2}$$$s'(t)=t-\frac{1}{2}$$
2. 2
   Приравняйте производную к нулю: $t - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ с. Это точка минимума, так как вторая производная $s''(t)=1>0$$$t-\frac{1}{2}=0$$

Ещё 2 шага — в полном решении

Найдите синус и косинус угла, изображенного на рисунке.

Найдите синус и косинус угла, изображенного на рисунке.

g(x)=sin (3x+π/7) функциясының ең кіші оң периодын анықтаңыз.

$g(x)=\sin \left(3x+\frac{\pi}{7}\right)$ функциясының ең кіші оң периодын анықтаңыз.

1. 1
   Выделим коэффициент при $x$ в аргументе синуса: $a=3$.
2. 2
   Период функции $\sin(ax+b)$ равен $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$.$$\frac{2\pi}{|a|}$$

Ещё 2 шага — в полном решении

f(x)=(2x²-3x+1) cos x болса, f'(0) табыңыз

$ f(x)=(2x^2-3x+1) \cos x $ болса, $ f'(0) $ табыңыз

1. 1
   Найдите производную функции f(x) как произведения функции u(x) = 2x² - 3x + 1 и v(x) = cos x по правилу произведения: f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).$$f'(x) = (4x - 3)\cos x + (2x^2 - 3x + 1)(-\sin x)$$
2. 2
   Подставьте x = 0 в полученное выражение. Вычислите u'(0), u(0), cos(0), sin(0).$$u'(0) = 4\cdot0 - 3 = -3,\ u(0) = 2\cdot0^2 - 3\cdot0 + 1 = 1,\ \cos 0 = 1,\ \sin 0 = 0$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Интервал, которому принадлежит угол, образуемый касательной, проведенной к графику функции f(x)=ctgx/2 в точке x = π/4, с осью Ох:

Интервал, которому принадлежит угол, образуемый касательной, проведенной к графику функции $f(x)=\frac{\operatorname{ctg}x}{2}$ в точке $x = \frac{\pi}{4}$, с осью Ох: