Решение: При помощи графика функции y = ||x-1|-3| выясните, сколько решений имеет уравнение $||x-
При помощи графика функции $y = ||x-1|-3|$ выясните, сколько решений имеет уравнение $||x-1|-3| = a$ в зависимости от значений параметра $a$. Установите соответствие между значениями параметра $a$ и количеством решений уравнения
A) $0 < a < 3$
B) $a > 3$
Решение по шагам
5 шаговГрафик функции $y = ||x-1|-3|$ симметричен относительно $x=1$, имеет минимум $0$ в точках $x=-2$ и $x=4$, максимум локальный $3$ в точке $x=1$, и растёт бесконечно при $|x|\to\infty$. Форма графика — две «V»-образные ветви, соединяющиеся в точке $(1,3)$ и уходящие вниз к нулю в $(-2,0)$ и $(4,0)$.
Для $a < 0$ — решений нет (график никогда не отрицателен). Для $a = 0$ — ровно два решения: $x=-2$ и $x=4$ (точки касания с осью $x$).
Для $0 < a < 3$ — горизонтальная линия $y=a$ пересекает график в четырёх точках: две на левой ветви (справа и слева от $x=-2$) и две на правой ветви (справа и слева от $x=4$).
Для $a = 3$ — линия касается графика в вершине $(1,3)$ и пересекает две внешние ветви — итого три решения: $x=1$ и два симметричных pointа вне интервала $[-2,4]$.
Для $a > 3$ — линия $y=a$ пересекает только две внешние ветви графика (по одной слева и справа), так как центральная часть графика не достигает высоты $a$ — итого два решения.
Где здесь ошибаются
Путаница между количеством решений при $a=3$ (3 решения) и при $0<a<3$ (4 решения), принятие за 2 решения из-за неполного анализа графика.
Считание, что при $a>3$ решений четыре, забывая, что средний «горб» графика не достигает уровня $a>3$.