Решение: Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = x² - 4x + 4 и графиком ее про
Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = x^2 - 4x + 4$ и графиком ее производной.
Решение по шагам
4 шагаНайди производную функции: $y' = 2x - 4$.
Найди точки пересечения функций: реши $x^2 - 4x + 4 = 2x - 4$. Упрости: $x^2 - 6x + 8 = 0$. Делители 8, сумма 6 → корни $x=2$, $x=4$.
Определи, какая функция выше на $[2,4]$: подставь $x=3$: $y=9-12+4=1$, $y'=6-4=2$ → производная выше. Тогда площадь $S = \int_2^4 [(2x-4) - (x^2-4x+4)] dx = \int_2^4 (-x^2 + 6x - 8) dx$.
Вычисли интеграл: $S = \left[-\frac{x^3}{3} + 3x^2 - 8x\right]_2^4 = \left(-\frac{64}{3} + 48 - 32\right) - \left(-\frac{8}{3} + 12 - 16\right) = (-\frac{64}{3} + 16) - (-\frac{8}{3} -4) = (-\frac{64}{3} + \frac{48}{3}) - (-\frac{8}{3} - \frac{12}{3}) = (-\frac{16}{3}) - (-\frac{20}{3}) = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Где здесь ошибаются
Путаница в порядке вычитания (большую minus меньшую), что приводит к отрицательной площади и выбору неправильного варианта.
Ошибка при нахождении производной: например, забыть коэффициент при $x$ и получить $y' = x - 4$ вместо $2x - 4$.
Неправильное решение квадратного уравнения при нахождении точек пересечения (например, неверное разложение или дискриминант).