Решения заданий ФИПИ ЕГЭ по физике: «Давление и плавание тел» — с ответами

Для полностью погружённого тела объём вытесненной жидкости постоянен. Поэтому сила Архимеда прямо пропорциональна плотности жидкости:$$F_\text{A}=\rho gV$$

Количество теплоты, необходимое для плавления вещества при температуре плавления, прямо пропорционально его массе:$$Q=\lambda m$$

Для одного моля одноатомного идеального газа внутренняя энергия определяется формулой $U=\dfrac{3}{2}RT$. Из уравнения Менделеева–Клапейрона $pV=RT$ получаем связь давления с внутренней энергией и объёмом:$$p=\dfrac{2U}{3V}$$

На участке $1\text{–}2$ графика $U(V)$ внутренняя энергия постоянна, а объём увеличивается. Значит, температура постоянна и процесс является изотермическим.$$U=\text{const},\quad T=\text{const},\quad pV=\text{const}$$

На груз действуют сила тяжести, сила натяжения нити и выталкивающая сила. Так как груз покоится, выталкивающая сила равна разности силы тяжести и силы натяжения.$$F_A = mg - T$$

Вычислим выталкивающую силу при $g = 10\ \text{Н/кг}$.$$F_A = 2{,}0 \cdot 10 - 12 = 8\ \text{Н}$$

На цилиндр действуют сила тяжести $mg$, сила натяжения нити $F$ и направленная вверх архимедова сила $F_{\text{А}}$. Так как цилиндр находится в равновесии, сила тяжести равна сумме сил, направленных вверх.$$mg = F + F_{\text{А}}$$

Масса цилиндра выражается через его плотность: $m = \rho V$. Архимедова сила определяется объёмом погружённой части цилиндра. Погружена половина объёма, поэтому $V_{\text{погр}} = V/2$.$$F_{\text{А}} = \rho_{\text{в}} g \frac{V}{2}$$

Пусть $V$ — объём шара, а $V_2$ — объём части шара, погружённой в воду после всплытия. При перерезании нити уровень воды понижается на $h$, поэтому разность объёмов вытесненной воды равна объёму, на который уменьшилась погружённая часть…$$\Delta V = V - V_2 = Sh$$

В состоянии, когда шар привязан ко дну и полностью погружён, на него действуют сила Архимеда вверх, а также сила тяжести и сила натяжения нити вниз. Условие равновесия имеет вид:$$F_{\text{A1}} = mg + T$$

На шар действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз, сила Архимеда $F_A$, направленная вертикально вверх, сила натяжения нити $T$, направленная вдоль нити вверх и в сторону от шара, и реакция стенки. Сила трения отсутствует…

Объём железного шара определяем по его массе и плотности железа $\rho_\text{ж} \approx 7{,}8 \cdot 10^3\ \text{кг/м}^3$:$$V = \dfrac{m}{\rho_\text{ж}} = \dfrac{2{,}5}{7{,}8 \cdot 10^3} \approx 3{,}21 \cdot 10^{-4}\ \text{м}^3$$

При плавании сила Архимеда равна силе тяжести льдины. Объём льдины равен $SH$, а объём её погружённой части — $S(H-h)$.$$\rho_{\text{в}} gS(H-h)=\rho_{\text{л}}gSH$$

Сокращая $gS$ и выражая толщину льдины, получаем:$$H=\frac{\rho_{\text{в}}h}{\rho_{\text{в}}-\rho_{\text{л}}}=\frac{1000\cdot0{,}04}{1000-900}=0{,}4\ \text{м}$$

На груз действуют сила тяжести $mg$, направленная вниз, сила натяжения нити $T$ и выталкивающая сила Архимеда $F_\text{А}$, направленные вверх.$$T + F_\text{А} = mg$$

Так как груз полностью погружён в жидкость, сила Архимеда равна произведению плотности жидкости, ускорения свободного падения и объёма груза.$$F_\text{А} = \rho gV = 700 \cdot 10 \cdot 10^{-3} = 7\ \text{Н}$$

При постоянной температуре для воздуха выполняется закон Бойля—Мариотта. Поскольку площадь поперечного сечения трубки постоянна, объёмы воздуха пропорциональны длинам воздушных столбиков.$$p_1l_1=p_2l_2$$

В горизонтальном положении давление воздуха равно атмосферному давлению:$$p_1=p_{\text{атм}}=747\ \text{мм рт. ст.}$$

Гелий является одноатомным идеальным газом. При изобарном сжатии работа, совершённая внешними силами, равна уменьшению работы газа по модулю:$$A_1 = p(V_1 - V_2) = \nu R(T_1 - T_2)$$

С учётом соотношения $T_2 = \dfrac{T_1}{4}$ получаем:$$2{,}4 = \nu R\left(T_1 - \frac{T_1}{4}\right) = \frac{3}{4}\nu RT_1$$

При достижении дна сила Архимеда равна весу сосуда с поршнем. Объём вытесненной воды равен сумме объёма воздуха и объёма стали.$$\rho_\text{в}g\left(V_2+\frac{m}{\rho}\right)=mg$$

Выразим объём воздуха в сосуде в момент опускания на дно, приняв плотность воды равной $1000\ \mathrm{кг/м^3}$:$$V_2=\frac{m}{\rho_\text{в}}-\frac{m}{\rho}=\frac{2{,}2}{1000}-\frac{2{,}2}{7800}\approx1{,}92\cdot10^{-3}\ \mathrm{м^3}$$

В горизонтальном положении давление воздуха равно атмосферному давлению, поскольку перепадом давления на горизонтальном столбике ртути пренебрегаем:$$p_1 = p_{\text{атм}} = 747\ \text{мм рт. ст.}$$

После установки трубки вертикально отверстием вверх воздух находится под столбиком ртути. Поэтому его давление увеличивается на гидростатическое давление столбика ртути:$$p_2 = p_{\text{атм}} + h$$

Запишем условие равновесия поршня с грузом. Давление воздуха уравновешивает атмосферное давление и вес поршня с грузом:$$p_1S = p_{\text{атм}}S + (M+m)g$$

После снятия груза давление воздуха определяется равновесием поршня без груза:$$p_2S = p_{\text{атм}}S + Mg$$

На палочку действуют сила тяжести $mg$, направленная вертикально вниз и приложенная в её середине, сила Архимеда $F_A$, направленная вверх, реакция гладкого дна и горизонтальная реакция гладкой стенки $N$. Так как дно и стенка гладкие…

Из геометрии: горизонтальная проекция палочки равна радиусу стакана $R=0{,}04\ \text{м}$. Поэтому для угла наклона палочки к горизонту выполняется $\cos\alpha=R/l$, а $\sin\alpha=\sqrt{l^2-R^2}/l$.

Обозначим первоначальные расстояния от точки опоры до более тяжёлого и лёгкого грузов через $x$ и $y$. Для невесомого рычага в равновесии применяем закон моментов сил.$$m_1 g x = m_2 g y$$

Подставляя массы грузов, получаем отношение первоначальных плеч:$$\frac{y}{x}=\frac{1{,}28}{0{,}32}=4$$

После закрытия левого колена в нём оказывается запертый воздух. При повышении температуры давление этого воздуха увеличивается, так как количество газа и объём, занимаемый газом до начала движения ртути, первоначально сохраняются.$$p \sim T \quad (V=\mathrm{const})$$

Давление воздуха в левом колене становится больше атмосферного давления, действующего на свободную поверхность ртути в правом колене.