Решение: Подъём поршня при снятии груза
В вертикальном цилиндрическом сосуде с площадью поперечного сечения $S = 5\ \text{см}^2$ под подвижным поршнем массой $M = 1\ \text{кг}$ с лежащим на нём грузом массой $m = 0{,}5\ \text{кг}$ находится воздух при комнатной температуре. Первоначально поршень находился на высоте $h_1 = 13\ \text{см}$ от дна сосуда. На сколько изменится эта высота, если груз снять с поршня? Воздух считать идеальным газом, а его температуру — неизменной. Атмосферное давление равно $10^5\ \text{Па}$. Трение между стенками и поршнем не учитывать.
Решение по шагам
6 шаговЗапишем условие равновесия поршня с грузом. Давление воздуха уравновешивает атмосферное давление и вес поршня с грузом:
$$p_1S = p_{\text{атм}}S + (M+m)g$$После снятия груза давление воздуха определяется равновесием поршня без груза:
$$p_2S = p_{\text{атм}}S + Mg$$Переведём площадь поперечного сечения в единицы СИ: $S = 5\cdot10^{-4}\ \text{м}^2$. Принимая $g = 10\ \text{м/с}^2$, найдём давления газа:
$$p_1 = 10^5 + \frac{(1+0{,}5)\cdot10}{5\cdot10^{-4}} = 1{,}3\cdot10^5\ \text{Па}$$Для конечного состояния получаем:
$$p_2 = 10^5 + \frac{1\cdot10}{5\cdot10^{-4}} = 1{,}2\cdot10^5\ \text{Па}$$Температура и количество газа постоянны, поэтому процесс изотермический. Так как $V = Sh$, закон Бойля–Мариотта принимает вид $p_1h_1 = p_2h_2$:
$$h_2 = \frac{p_1h_1}{p_2} = \frac{1{,}3\cdot10^5\cdot13}{1{,}2\cdot10^5} \approx 14{,}08\ \text{см}$$Изменение высоты поршня равно разности конечной и начальной высот:
$$\Delta h = h_2-h_1 \approx 14{,}08-13 = 1{,}08\ \text{см}$$Высота поршня увеличится примерно на $1{,}08\ \text{см}$, или на $1{,}08\cdot10^{-2}\ \text{м}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают атмосферное давление при записи условий равновесия поршня.
Используют только массу груза вместо полной массы поршня с грузом в начальном состоянии.
Забывают, что при неизменной температуре произведение давления на объём постоянно.
Путают изменение высоты с конечной высотой поршня.