На конференцию приехали учёные из трёх стран: 9 из Португалии, 7 из Финляндии и 4 из Болгарии. Каждый из них делает на конференции один доклад. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Найдите…
- 1
Найдём общее число учёных:$$9 + 7 + 4 = 20$$
- 2
Благоприятны 9 случаев: седьмым выступает один из 9 учёных из Португалии.$$P = \dfrac{9}{20} = 0{,}45$$
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,7. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…
- 1
Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» противоположно событию «все три лампы перегорят».$$P(A)=1-P(\overline{A})$$
- 2
Так как перегорание ламп независимо, вероятность перегорания всех трёх ламп равна произведению вероятностей.$$P(\overline{A})=0{,}7^3=0{,}343$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что её масса окажется меньше 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса буханки окажется…
- 1
Найдём вероятность того, что масса буханки окажется не меньше 810 г, используя противоположное событие.$$P(X \geq 810)=1-P(X<810)=1-0{,}95=0{,}05$$
- 2
Из события «масса больше 790 г» исключим событие «масса не меньше 810 г».$$P(790<X<810)=P(X>790)-P(X\geq810)=0{,}86-0{,}05=0{,}81$$
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,8. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…
- 1
Найдём вероятность противоположного события — все три лампы перегорели. Так как события независимы, перемножаем вероятности:$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}8^3 = 0{,}512$$
- 2
Вероятность того, что хотя бы одна лампа не перегорит, равна вероятности, дополнительной к событию перегорания всех ламп:$$P = 1 - 0{,}512 = 0{,}488$$
В коробке 12 синих, 6 красных и 7 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
- 1
Всего в коробке $12 + 6 + 7 = 25$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$\binom{25}{2} = \frac{25 \cdot 24}{2} = 300$$
- 2
Благоприятные исходы — выбрать один синий и один красный фломастер:$$12 \cdot 6 = 72$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,5. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы…
- 1
Найдём вероятность противоположного события — того, что все три лампы перегорят.$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}5^3 = 0{,}125$$
- 2
Событие «хотя бы одна лампа не перегорит» является противоположным событию «все лампы перегорели».$$P = 1 - 0{,}125 = 0{,}875$$
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,6. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени…
- 1
Вероятность попадания в каждую из первых двух мишеней равна $0{,}6$, поэтому вероятность двух попаданий подряд равна:$$0{,}6^2$$
- 2
Вероятность промаха при одном выстреле равна $1 - 0{,}6 = 0{,}4$. Вероятность двух промахов по последним мишеням равна:$$0{,}4^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…
- 1
Обозначим события: $A$ — кофе закончится в первом автомате, $B$ — кофе закончится во втором автомате. Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
- 2
Подставим значения из условия:$$P(A \cup B) = 0{,}2 + 0{,}2 - 0{,}12 = 0{,}28$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,04. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…
- 1
Событие «батарейка будет забракована» может произойти в двух случаях: батарейка неисправна и её забраковали либо батарейка исправна, но её забраковали по ошибке.$$P(A)=P(B)P(A\mid B)+P(\overline{B})P(A\mid\overline{B})$$
- 2
Вероятность того, что батарейка неисправна и будет забракована, равна $0{,}04\cdot0{,}96$.
Ещё 2 шага — в полном решении
В коробке 11 синих, 6 красных и 8 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
- 1
Всего в коробке $11 + 6 + 8 = 25$ фломастеров. Число способов выбрать два фломастера:$$\binom{25}{2} = 300$$
- 2
Благоприятные исходы состоят в выборе одного синего и одного красного фломастера:$$11 \cdot 6 = 66$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в три первые мишени…
- 1
Вероятность попадания в каждую из трёх первых мишеней равна $0{,}9$, поэтому вероятность попасть во все три равна:$$0{,}9^3$$
- 2
Вероятность не попасть в последнюю мишень равна $1 - 0{,}9 = 0{,}1$.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…
- 1
Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончился соответственно в первом и втором автомате.
- 2
Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате, по формуле сложения вероятностей.$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0{,}2+0{,}2-0{,}07=0{,}33$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью $0{,}5$ при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно…
- 1
Вероятность промаха при одном выстреле равна $1 - 0{,}5 = 0{,}5$. Вероятность промахнуться всеми $n$ выстрелами равна $0{,}5^n$.$$P(\text{ни одного попадания})=0{,}5^n$$
- 2
Вероятность хотя бы одного попадания должна быть не меньше $0{,}7$:$$1-0{,}5^n\geqslant 0{,}7$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Помещение освещается фонарём с четырьмя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,4. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года…
- 1
Найдём вероятность противоположного события: все четыре лампы перегорели.$$P(\text{все перегорели}) = 0{,}4^4$$
- 2
Так как лампы перегорают независимо, вероятности перемножаются.$$0{,}4^4 = 0{,}0256$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,1. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…
- 1
Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончится соответственно в первом и втором автомате.
- 2
Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате:$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0{,}1+0{,}1-0{,}03=0{,}17$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,5 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать…
- 1
Вероятность промаха при одном выстреле равна $1 - 0{,}5 = 0{,}5$. Вероятность промаха при всех $n$ выстрелах равна $0{,}5^n$.$$P(\text{ни одного попадания}) = 0{,}5^n$$
- 2
Вероятность хотя бы одного попадания должна быть не меньше $0{,}8$:$$1 - 0{,}5^n \geq 0{,}8$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,06. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того…
- 1
Рассмотрим два несовместных случая: батарейка неисправна и батарейка исправна. Вероятность исправной батарейки равна $1-0{,}06=0{,}94$.$$P(\text{исправна})=1-0{,}06=0{,}94$$
- 2
По формуле полной вероятности найдём вероятность того, что батарейка будет забракована:$$P=0{,}06\cdot0{,}96+0{,}94\cdot0{,}01$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в первом автомате закончится кофе, равна 0,2. Вероятность того, что кофе закончится во втором автомате…
- 1
Обозначим события $A$ и $B$: кофе закончится соответственно в первом и втором автомате.$$P(A)=P(B)=0{,}2,\quad P(A\cap B)=0{,}18$$
- 2
Найдём вероятность того, что кофе закончится хотя бы в одном автомате.$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0{,}2+0{,}2-0{,}18=0{,}22$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стрелок стреляет по одному разу в каждую из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в две первые мишени…
- 1
Вероятность попадания равна $0{,}9$, поэтому вероятность промаха равна:$$1 - 0{,}9 = 0{,}1$$
- 2
События, описывающие результаты отдельных выстрелов, независимы. Поэтому перемножаем вероятности двух попаданий и двух промахов:$$P = 0{,}9^2 \cdot 0{,}1^2$$
Ещё 1 шаг — в полном решении
Стрелок стреляет по одному разу по каждой из четырёх мишеней. Вероятность попадания в мишень при каждом отдельном выстреле равна 0,4. Найдите вероятность того, что стрелок попадёт в первую мишень и…
- 1
Вероятность попадания в первую мишень равна $0{,}4$, а вероятность промаха по каждой из трёх последних мишеней равна $1 - 0{,}4 = 0{,}6$.$$P(\text{промах}) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$$
- 2
Так как выстрелы независимы, перемножаем вероятности нужных событий.$$P = 0{,}4 \cdot 0{,}6^3 = 0{,}0864$$