Базовая математика ЕГЭ — решения заданий ФИПИ с ответами

Значение тригонометрического выражения

Найдите значение выражения $-50\sqrt{3}\,\tg 420^\circ$.

1. 1
   Уменьшим угол, используя периодичность тангенса:$$420^\circ = 360^\circ + 60^\circ,\quad \tg 420^\circ = \tg 60^\circ = \sqrt{3}$$
2. 2
   Подставим найденное значение тангенса:$$-50\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=-50\cdot 3=-150$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\dfrac{36}{(2\sqrt{6})^2}$.

1. 1
   Возведём знаменатель в квадрат:$$(2\sqrt{6})^2=2^2\cdot(\sqrt{6})^2=4\cdot6=24$$
2. 2
   Подставим полученное значение в выражение:$$\dfrac{36}{24}=1{,}5$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $\dfrac{(5^{-4})^2}{5^{-10}}$.

1. 1
   Возведём степень в степень:$$(5^{-4})^2=5^{-8}$$
2. 2
   Разделим степени с одинаковым основанием:$$\dfrac{5^{-8}}{5^{-10}}=5^{-8-(-10)}=5^2$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(0{,}1)^3 \cdot 10^4 : 2^{-3}$.

1. 1
   Представим десятичную дробь в виде степени десяти:$$0{,}1 = 10^{-1}$$
2. 2
   Вычислим произведение степеней десяти:$$(0{,}1)^3 \cdot 10^4 = (10^{-1})^3 \cdot 10^4 = 10^{-3+4} = 10$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $(-10)^3 + (-10)^2 + (-10)^0$.

1. 1
   Вычислим значения степеней:$$(-10)^3=-1000,\quad (-10)^2=100,\quad (-10)^0=1$$
2. 2
   Сложим полученные значения:$$-1000+100+1=-899$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $2{,}3 \cdot 2 + 1{,}1$.

1. 1
   Сначала выполняем умножение:$$2{,}3 \cdot 2 = 4{,}6$$
2. 2
   Прибавляем $1{,}1$:$$4{,}6 + 1{,}1 = 5{,}7$$

Значение выражения с корнем

Найдите значение выражения $\sqrt{\dfrac{7\cdot 33}{11\cdot 21}}$.

1. 1
   Вычислим числитель и знаменатель подкоренного выражения:$$7\cdot 33=231,\qquad 11\cdot 21=231$$
2. 2
   Подкоренное выражение равно единице, поэтому его арифметический квадратный корень также равен единице.$$\sqrt{\dfrac{7\cdot 33}{11\cdot 21}}=\sqrt{\dfrac{231}{231}}=\sqrt{1}=1$$

Значение выражения со степенями

Найдите значение выражения $6 \cdot (-1)^2 + 4 \cdot (-1)^5$.

1. 1
   Вычислим степени числа $-1$: показатель $2$ чётный, поэтому $(-1)^2 = 1$; показатель $5$ нечётный, поэтому $(-1)^5 = -1$.$$(-1)^2=1,\quad (-1)^5=-1$$
2. 2
   Подставим полученные значения в выражение и выполним вычисления.$$6\cdot 1+4\cdot(-1)=6-4=2$$

Значение выражения с дробями

Найдите значение выражения $\dfrac{9}{14} : \dfrac{3}{7} + 0{,}5$.

1. 1
   Заменяем деление на дробь умножением на обратную дробь, а десятичную дробь представляем в виде обыкновенной:$$\dfrac{9}{14} : \dfrac{3}{7} + 0{,}5 = \dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{2}$$
2. 2
   Сокращаем и складываем дроби:$$\dfrac{9}{14} \cdot \dfrac{7}{3} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{2} = 2$$

Значение выражения с корнями

Найдите значение выражения $\dfrac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}}$.

1. 1
   Применим свойство частного арифметических корней.$$\dfrac{\sqrt{128}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\dfrac{128}{2}}$$
2. 2
   Вычислим значение подкоренного выражения и извлечём квадратный корень.$$\sqrt{\dfrac{128}{2}} = \sqrt{64} = 8$$

Сумма логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{7} 9{,}8 + \log_{7} 35$.

1. 1
   Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_{7} 9{,}8 + \log_{7} 35 = \log_{7}(9{,}8 \cdot 35)$$
2. 2
   Вычислим произведение аргументов и представим результат как степень семёрки.$$9{,}8 \cdot 35 = 343 = 7^3$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Значение произведения с корнями

Найдите значение выражения $(\sqrt{14} - 3\sqrt{2})(\sqrt{14} + 3\sqrt{2})$.

1. 1
   Применим формулу разности квадратов.$$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$$
2. 2
   Подставим $a=\sqrt{14}$ и $b=3\sqrt{2}$:$$(\sqrt{14})^2-(3\sqrt{2})^2=14-9\cdot2=14-18=-4$$

Степень с логарифмом

Найдите значение выражения $6^{1+\log_6 4}$.

1. 1
   Представим единицу как логарифм по основанию $6$:$$1=\log_6 6$$
2. 2
   Объединим сумму логарифмов и применим основное свойство логарифма:$$6^{1+\log_6 4}=6^{\log_6 6+\log_6 4}=6^{\log_6(6\cdot4)}=6^{\log_6 24}=24$$

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_2 12 - \log_2 3$.

1. 1
   Применим свойство разности логарифмов с одинаковым основанием.$$\log_2 12 - \log_2 3 = \log_2 \frac{12}{3}$$
2. 2
   Вычислим частное и значение логарифма.$$\log_2 \frac{12}{3} = \log_2 4 = 2$$

Значение логарифмического выражения

Найдите значение выражения $6^{3\log_6 2}$.

1. 1
   Преобразуем произведение в показателе степени по свойству логарифма:$$3\log_6 2=\log_6 2^3$$
2. 2
   Применяем основное свойство логарифма:$$6^{3\log_6 2}=6^{\log_6 2^3}=2^3=8$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $5{,}5 \cdot 3{,}8 - 3{,}1$.

1. 1
   Сначала выполняем умножение десятичных дробей.$$5{,}5 \cdot 3{,}8 = 20{,}9$$
2. 2
   Вычитаем из полученного результата число $3{,}1$.$$20{,}9 - 3{,}1 = 17{,}8$$

Значение числового выражения

Найдите значение выражения $\dfrac{7}{18} + \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{9}$.

1. 1
   Сначала вычислим произведение дробей.$$\dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{4}{9} = \dfrac{20}{18} = \dfrac{10}{9}$$
2. 2
   Приведём дроби к общему знаменателю и сложим.$$\dfrac{7}{18} + \dfrac{10}{9} = \dfrac{7}{18} + \dfrac{20}{18} = \dfrac{27}{18} = \dfrac{3}{2}$$

Ещё 1 шаг — в полном решении

Разность логарифмов

Найдите значение выражения $\log_{2}256 - \log_{2}4$.

1. 1
   Представим аргументы логарифмов в виде степеней основания $2$:$$256=2^8,\quad 4=2^2$$
2. 2
   Применим определение логарифма и вычислим разность:$$\log_2 256-\log_2 4=8-2=6$$

Деление разности десятичных дробей

Найдите значение выражения $\dfrac{9{,}4 - 1{,}3}{1{,}8}$.

1. 1
   Вычислим значение числителя:$$9{,}4 - 1{,}3 = 8{,}1$$
2. 2
   Разделим полученное значение на знаменатель:$$\dfrac{8{,}1}{1{,}8} = 4{,}5$$

Значение степени и дроби

Найдите значение выражения $\dfrac{4^{10}}{2^{11}}$.

1. 1
   Представим число $4$ как степень двойки:$$4^{10} = (2^2)^{10} = 2^{20}$$
2. 2
   При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели:$$\dfrac{4^{10}}{2^{11}} = \dfrac{2^{20}}{2^{11}} = 2^9$$

Ещё 1 шаг — в полном решении